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2014高考数学一轮课时专练（理科安徽省专用）：(二十四) [第24讲 正弦定理和余弦定理的应用]
(时间：45分钟 分值：100分)
1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )
A. B. C. D.
2．[2012·安徽示范中学联考] “温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图K24－1所示的一块三角形空地上种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要( )
图K24－1
A．2 700元 B．5 400元
C．27 000元 D．54 000元
3．如图K24－2，在某地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________．
图K24－2
图K24－3
.[2012·天津模拟] 如图K24－3，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4 n mile，则此船的航行速度是________________________________________________________________________ n mile/h.
图K24－4
5．如图K24－4，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m C．25 m D. m
图K24－5
6．[2012·蚌埠一中模拟] 如图K24－5，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．[2013·宿州一中监测] 在某个位置测得一山峰的仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m后测得山峰仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )
A．100 m B．300 m C．500 m D．600 m
图K24－6
8．如图K24－6，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20 n mile，当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 n mile，则乙船每小时航行( )
A．30 n mile B．20 n mile
C．30 n mile D．20 n mile
9．[2012·长春检测] 如图K24－7，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10 n mile C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值等于( )
A. B. C. D.
图K24－7
图K24－8
10．[2012·泰州调研] 如图K24－8，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为________．
11．[2013·开封模拟] 在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，且cos(A－B)＝，则cosC＝________．
12．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．
图K24－9
13．如图K24－9，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________________________________________________________________________ m.
14．(10分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C 31 km的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问这人还要走多少千米可到达城A?
15．(13分)如图K24－10所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.
(1)求出发后3 h两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
(3)两船在航行中能否相遇，试说明理由．
图K24－10
16．(12分)某海岛上有一座海拔1 km的山，山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A)，测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C处，如图K24－11所示．
(1)设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处．
(i)求证：BC⊥平面PAD；
(ii)计算B，D两点间的距离．
(2)海水退潮后，在(1)中的点D处周围0.25 km内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处．为使游艇不会触礁，试求AE的最大值．
图K24－11
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