【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】:9:圆锥曲线
．（2013届北京东城区一模数学文科）已知点,抛物线的焦点是,若抛物线上存在一点,使得最小,则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
D
抛物线的焦点，准线方程为，过点P，作准线的垂线交准线于B,则，所以,所以当三点共线时，最小，此时,所以,即点的坐标为。选D.
．（2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
D
抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中的。所以，即。所以椭圆的离心率为，选D.
．（2013届北京海淀一模文）抛物线的焦点为,点为抛物线上的动点,点为其准线上的动点,当为等边三角形时,其面积为 （ ）
A． B．4 C．6 D．
D
抛物线的焦点为,准线方程为。据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，所以PM⊥抛物线的准线，
设P，则M，等边三角形边长为，所以由PM=FM，得，解得，所以等边三角形边长为4，其面积为。
故选D．
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）点P是以为焦点的椭圆上的一点,过焦点作的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是 （ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
D
由题意，延长交延长线于Q，得，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，连接OM，知OM是三角形F1F2Q的中位线
∴OM=a，即点M到原点的距离是定值，由此知点M的轨迹是圆,故选D
．（2013届北京大兴区一模文科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 （ ）
A．1 B．2 C． D．
B
，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选B.
．（2013届北京大兴区一模文科）已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程是_________
由题意知，所以，即，所以双曲线的方程为。
．（2013届北京市朝阳区一模数学文）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .
抛物线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，即抛物线的方程为。其中，所以，所以抛物线的方程为。
．（2013届北京市石景山区一模数学文）设抛物线的焦点为F，其准线与轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若，则直线的方程为 ．
设A（x1，y1），B（x2，y2）因为∠AQB=90°，所以kAQ?kBQ=-1，可得即y1y2=（x1+1）（x2+1），整理可得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1…（*），因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），所以根据抛物线的性质，可得x1x2=p2=1，y1y2=p2=4，代入（*）得：4=1+（x1+x2）+1，可得x1+x2=2。结合x1x2=1，可得x1=x2=1，即A、B两点的横坐标相等，所以直线AB的方程为，即直线l的方程为。
．（2013届北京西城区一模文科）抛物线的准线方程是______;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则______.
；
由得焦点坐标为，准线方程为。过作准线的垂线交准线于，则，即，所以。
．（2013届北京市延庆县一模数学文）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交椭圆于两点,且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点(点在点之间).
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,离心率,
的周长为,
解得,则,
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)直线的方程为,
由,消去并整理得(*)
,解得,
设椭圆的弦的中点为,则“在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点,使得”
设,,由韦达定理得,,
所以,
,,
所以,,解得
,所以,
函数在定义域单调递增,,
所以满足条件的点存在,的取值范围为
．（2013届北京市朝阳区一模数学文）（本小题满分14分）
已知椭圆过点,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线 于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.
解：（Ⅰ）依题得解得，.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
（Ⅱ）根据已知可设直线的方程为.
由得.
设,则.
直线，的方程分别为：，
令，
则,所以.
所以
. ……………………………………………………14分
．（2013届北京东城区一模数学文科）已知椭圆:的两个焦点分别为,,离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ),,,是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.
(Ⅰ)解:由已知,
所以.
所以.
所以:,即.
因为椭圆过点,
得,.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆的焦点坐标为,.
根据题意, 可设直线的方程为,
由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为.
设,.
由方程组消得
.
则 .
所以=.
同理可得.
所以.
．（2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程.
【解】:(Ⅰ)设椭圆C的方程为,则
,解得,,所以椭圆C的方程为,
(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,
当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),
由得,
因为,
所以,
所以,,
因为线段AB的垂直平分线过点M(),
所以,即,所以,
解得,,
所以直线l的方程为 或
．（2013届北京海淀一模文）已知圆:,若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)已知直线:,若直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点(其中点在线段上),且,求的值.
解:(I)设椭圆的焦距为,
因为,,所以
所以
所以椭圆:
(II)设(,),(,)
由直线与椭圆交于两点,,则
所以, 则,
所以
点()到直线的距离
则
显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾,
因为,所以
所以
解得,即
．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且离心率为.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若,求的面积.
解:(I)设椭圆方程为,,
由,可得,
既所求方程为
(II)设,,
由有
设直线方程为,代入椭圆方程整理,得
解得
若 ,
则
解得
又的面积
答:的面积是
．（2013届北京大兴区一模文科）已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求线段MN长度的最小值.
解:(Ⅰ)设,由题意知 ,即
化简得曲线C方程为:
(Ⅱ)思路一
满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为,
由(Ⅰ)知,所以,设直线方程为,
当时得点坐标为,易求点坐标为
所以=,
当且仅当时,线段MN的长度有最小值.
思路二:满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为,
联立方程:
消元得,
设,,
由韦达定理得:,
所以,代入直线方程得,
所以,又
所以直线BQ的斜率为
以下同思路一
思路三:设,则直线AQ的方程为
直线BQ的方程为
当,得,即
当,得,即
则
又
所以
利用导数,或变形为二次函数求其最小值.
．（2013届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，左焦点到直线的距离等于长半轴长．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知可得，
由到直线的距离为，所以， ．．．．．．．．．．．3分
解得
所求椭圆方程为. ．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 设直线的方程为：
消去得 ． ．．．．7分
因为过点，所以恒成立
设，
则，
中点 ．．．．．．．．．．．．．．．9分 当时，为长轴，中点为原点，则 ．．．．．．．．．．．．．．10分
当时中垂线方程．
令， ．．．．．．．．．11分
，， 可得
综上可知实数的取值范围是． ．．．．．．．．．．．．．．13分
．（2013届北京西城区一模文科）如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.
(Ⅰ)若点的横坐标为,求直线的斜率;
(Ⅱ)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由.
(Ⅰ)解:依题意,直线的斜率存在,设其方程为
将其代入,整理得
设,,所以
故点的横坐标为.
依题意,得,
解得
(Ⅱ)解:假设存在直线,使得 ,显
然直线不能与轴垂直.
由(Ⅰ)可得
因为 ,
所以 ,
解得 , 即
因为 △∽△,
所以
所以 ,
整理得
因为此方程无解,
所以不存在直线,使得
．（2013届房山区一模文科数学）已知椭圆和点,垂直于轴的直线与椭圆交于两点,连结交椭圆于另一点.
(Ⅰ)求椭圆的焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)证明直线与轴相交于定点.
(Ⅰ)由题意知: 所以
所以,焦点坐标为; 离心率
(Ⅱ)由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为
, ,则,
由 得
则 (1)
直线AE的方程为,
令,得 (2)
又 , 代入(2)式,得 (3)
把(1)代入(3)式,整理得
所以直线AE与轴相交于定点
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