1.(文)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
[答案] C
[解析] 本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.
[点评] 解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．
(理)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2013，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2014 (x)＝( )
A．sinx＋ex B．cosx＋ex
C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex
[答案] C
[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2013x2012，
f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2013×2012x2011，
f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2013×2012×2011x2010，
f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2013×2012×2011×2010x2009，
由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；
而f2014(x)＝f ′2013(x)，此时其最后一项的导数将变为0.
故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sinx＋ex.
2．(文)(2011·惠州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
[答案] C
[解析]
如图所示，y2＝2px的准线为x＝－，P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.
由抛物线定义知：|P1F|＝|P1A|＝x1＋，|P2F|＝|P2B|＝x2＋，
|P3F|＝|P3C|＝x3＋，
∴2|P2F|＝2(x2＋)＝2x2＋p，
|P1F|＋|P3F|＝(x1＋)＋(x3＋)＝x1＋x3＋p.
又∵2x2＝x1＋x3，
∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
(理)(2011·山东实验中学期末)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－，②y＝x＋，③y＝中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．只有①
[答案] C
[解析] ①对于函数f(x)＝x－，
∵f＝－x＝－＝－f(x)，∴①是“倒负”变换的函数，排除B；
②对于函数f(x)＝x＋有f＝＋x＝f(x)不满足“倒负”变换，排除A；
③，当01，
∵f(x)＝x，∴f＝－＝－x＝－f(x)；
当x>1时，0<<1，∵f(x)＝－，
∴f＝＝－f(x)；当x＝1时，＝1，
∵f(x)＝0，∴f＝f(1)＝0＝－f(x)，
∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF＝，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为mn，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是( )
A．S0＝ B．S0＝
C.＝ D.＝
[答案] C
[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．
4．(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )
①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.
A．①④ B．②⑤ C．③⑤ D．②③
[答案] C
[解析] 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36, 28＋36＝64，只有③⑤是对的．
5．设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a、b∈A ，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
[答案] C
[解析] 令a＝1，b＝2，＝，可排除A、B.
令a＝，b＝3，＝3，可排除D，故选C.
[点评] 这是一个信息给予题，用筛选法(即排除法解)更加简便．
6．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第ns时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中正确的是( )
A．P(2012)＝404 B．P(2013)＝404
C．P(2014)＝405 D．P(2015)＝405
[答案] A
[解析] 显然每5s前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，
∴P(2012)＝P(5×402＋2)＝402＋2＝404，
P(2013)＝405，P(2014)＝404，P(2015)＝403，故选A.
7．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第2014个数对是________．
[答案] (61,3)
[解析] 所给各数对依次为对整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大依次分解，2的分解有一个(1,1)，3的分解有两个(1,2)，(2, 1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n(n≥2，n∈N)的分解有n－1个，
由≤2014得，n≤63，
∵n＝63时，＝1953，故第2014个数对为64的分解第61对，由(1,63)，(2,62)，(3,61)，(4,60)，…知，第61对为(61,3)．
8．(2011·湘潭五模)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
[答案] 41
[解析] 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为＝n，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.
9．(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.类比上述结论，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的结论为________．
[答案] a1＋a2＋…＋an≤(n∈N*)
[解析] 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
∵f(x)≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤.
10．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
[证明] (1)证法一(反证法)：若{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即
a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，∴q＝0，与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．
证法二：只需证明SnSn＋2≠S.
∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.
故{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则由S1，S2，S3成等差数列得，2S2＝S1＋S3.
∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，
∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，
∵q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾.
能力拓展提升
11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1、x2、x3分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )
A．x1>x2>x3 B．x1>x3>x2
C．x2>x3>x1 D．x3>x2>x1
[答案] C
[解析] ∵x1＝50＋(x3－55)＝x3－5?x3>x1，
x2＝30＋(x1－20)＝x1＋10?x2>x1，
x3＝30＋(x2－35)＝x2－5?x2>x3，
∴x2>x3>x1，∴选C.
[点评] 抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键，考查阅读理解能力．
12．(文)(2011·泉州模拟)考察下列一组不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2＋5>22·5＋2·52，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．
[答案] am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)
[解析] 由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“2＋5>22·5＋2·5”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□>□□·□□＋□□·□□”的形式．
再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□>a□·b□＋a□·b□”的形式．
再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)．
(理)观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )
A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝
B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝
C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝
D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
[答案] A
[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.
13．(文)(2011·江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________.”
[答案] 3
[解析]
如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则BM＝×＝，
AM＝＝，
R＝，
解得R＝.
于是，＝＝3.
(理)如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则(ihi)＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则(iHi)的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 在平面四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得
S＝(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝(ihi)．
所以(ihi)＝.
类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有
V＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)
＝(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)
＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝(iHi)，
∴(iHi)＝.
[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．
14．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(n∈N*)，bm＝a， bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，先类比上述结论，得出在等比数列{bn}中bn＋m的表达式，再证明你所得出的结论．
[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的，数列中的可以类比等比数列中的，
故bm＋n＝.
证明如下：设bn＝b1qn－1，则
bn＋m＝b1qn＋m－1，
∵bm＝a，bn＝b，∴＝＝＝b·qn(n－1)－m(m－1)＝b·q(n－m)(n＋m－1)，
∴＝b1qn＋m－1＝bm＋n.
15．(2011·上海模拟)冬天，洁白的雪花飘落时非常漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
(ⅰ)将正三角形(图①)的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
(ⅱ)将图②的每三边等分，重复上述作图方法，得到图③；
(ⅲ)再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③……中的图形依次记作M1，M2，…，Mn，…，设M1的边长为1.
记Mn的边数为an，边长bn，周长为Ln.
(1)写出a1，a2，a3；b1，b2，b3；
(2)求an，bn，Ln.
[解析] (1)a1＝3，a2＝12，a3＝48，
b1＝1，b2＝，b3＝.
(2)其边数与边长的变化规律是：一条边变为4条边，边长为原来的，如图
∴an＋1＝4an，bn＋1＝bn.
又a1＝3，∴an＝3×4n－1，
∵b1＝1，∴bn＝.
∴Ln＝an·bn＝3×4n－1×
＝3·n－1.
16．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a.
[证明] 要证<a，
只需证b2－ac<3a2，
因为a＋b＋c＝0，
只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立，故原不等式成立．
1．(2011·江西理，7)观察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，则52011 的末四位数字为( )
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
[答案] D
[解析] 因为58＝390625,59＝1953125.
所以5n(n≥5)的末四位数字周期为4，
2011＝502×4＋3，故52011的末四位数字为8125，故选D.
2．将正整数排成下表：
则在表中数字2014出现在( )
A．第44行第78列 B．第45行第78列
C．第44行第77列 D．第45行第77列
[答案] B
[解析] 第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．
2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.
3．(2011·清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
[答案] B
[解析] 观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.
4．(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )
A．11010 B．01100
C．10111 D．00011
[答案] C
[解析] 对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.
5．n个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
[答案] A
[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.
6．(2012·陕西文，12)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为__________________．
[答案] 1＋＋＋＋＋<
[解析] 本题考查了归纳的思想方法．
观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，
所以第五个不等式为：
1＋＋＋＋＋<.
[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．
7．(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式：
①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；
②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；
③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．
[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1
[解析] 所给三角恒等式都为tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.
8．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
[解析] f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，
注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.
证明如下：
设x1＋x2＝1，
f(x1)＋f(x2)＝＋
＝
＝
＝＝.
9．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：＋≤2.
[证明] 要证＋≤2，
只需证a＋＋b＋＋2≤4，
又a＋b＝1，故只需证≤1，只需证(a＋)(b＋)≤1，只需证ab≤.
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立．
10．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析] (1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
解法二：
(1)同解法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
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