2012全国高考分类解析（10）数列
三、解答题：
1．（2007年高考）已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．
（1）求的值；
（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．
【解析】(1) 由 ，得，
∴，．
(2) ，，
，
∴ ，又 ，
∴数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；
∴ ．
2．（2008年高考）设数列满足，， ．数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解析】（1）由得
又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时
令 ……①
①×得： ……②
①-②得： ，
∴ ，
因此
3．（2009年高考）已知点是函数的图像上一点．等比数列的前项和为．数列的首项为且前项和满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列的前项和为，问满足的最小正整数是多少？
【解析】（1）∵，∴．
，，
．
又数列成等比数列，，∴ ．
又公比，所以 ，；
∵ ，
又，，∴；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，，
当， ，∴()．
（2）
；
由，得，满足的最小正整数为．
4．（2011年高考） 设b>0，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数，．
【解析】∵，∴，∴，
当时， ∴，
∴当时，是以为首项，公差为1的等差数列，
∴， ∴． ∵也符合， ∴，．
当时， 令， ∴， ∴，
∴ ∴，
∴当时，是以为首项，公比为的等比数列，
∴， ∴ ．
∵也符合， ∴，．
综上：当时，，． 当时，，．
证明：当时，，．
∴对于一切正整数，．
当时， ∴， ∴要证．
即证． 即证．
即证．
即证．
设，
∴
∴根据均值不等式得：
．
∴当时，对于一切正整数，．
综上：对于一切正整数，．
5．（2012年高考）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
【解析】（1）当时，，
∵，∴，∴，
(2)当时，
，
∵当时，
∴，
∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴，
∵，
∴，．
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