多考点综合练(六)
测试内容：解析几何
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )
A．－ B.
C．3 D．－3
解析：由两点式，得＝，
即2x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－，
即在x轴上的截距为－.
答案：A
2．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是 ( )
A．3x－4y＋4＝0[来源:Ks5u.com]
B．3x－4y＋4＝0，或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0，或3x－4y－14＝0
解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0.
由＝3，解得m＝16，或m＝－14.
即所求直线方程为3x－4y＋16＝0，或3x－4y－14＝0
答案：D
3．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为 ( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
解析：由题意＝，所以a2＝4b2.
故双曲线的方程可化为－＝1，
故其渐近线方程为y＝±x.
答案：A
4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：双曲线方程化为标准形式：y2－＝1则有：a2＝1，b2＝－，∴2a＝2,2b＝2 ，
∴2×2＝2 ，∴m＝－.
答案：A
5．(2012年孝感统考)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是 ( )[来源:高&考%资(源#网]
A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
解析：x2＋y2－2x＋6y＋9＝0，(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心(1，－3)，故选D.
答案：D
6．过点A(0,3)，被圆(x－1)2＋y2＝4截得的弦长为2的直线的方程是
( )
A．y＝－x＋3 B．x＝0，或y＝－x＋3
C．x＝0，或y＝x＋3 D．x＝0
解析：当过点A(0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为2，此时，弦所在直线方程为x＝0；
当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0.
因为弦长为2，圆的半径为2，所以弦心距为＝1，由点到直线距离公式得＝1，解得k＝－.
综上，所求直线方程为x＝0，或y＝－x＋3.
答案：B
7．如果实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值 ( )
A. B.
C. D.
解析：设＝k，则得直线l：kx－y＝0，
∴圆心(2,0)到直线l的距离d＝≤解得－≤k≤，∴kmax＝，故选D.
答案：D
8．(2012年南昌模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 ( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则· ＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：C
9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．y2＝－12x D．x2＝－12y
解析：由题意，得c＝＝3.
∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．
∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
答案：D
10．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是 ( )
A．(2,2) B．(2,1)
C．(1,2) D．(2，－2)
解析：如图所示，连接AB与直线y＝x交于点Q，则当P点移动到Q点位置时，|PA|＋|PB|的值最小．
直线AB的方程为y－5＝(x－3)，
即3x－y－4＝0.
解方程组，得
于是当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2,2)，故选A.
答案：A
11．(2011年福建)设圆锥曲线 Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于 ( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，
∴|PF1|＝|F1F2|，|PF2|＝|F1F2|
则若|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＋|F1F2|＝2|F1F2|>|F1F2|，
知P点在椭圆上，2a＝4c，∴a＝2c，e＝.
若：|PF1|－|PF2|＝|F1F2|－|F1F2|＝|F1F2|<|F1F2|，
知P点在双曲线上，2a＝c，∴＝，
∴e＝.
答案：A
12．(2012年海淀模拟)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
解析：如图，设椭圆的长半轴长，半焦距分别为a1，c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则?，问题转化为
已知1<<2，求的取值范围．
由1<<2知<<1，
即<<2，因此<＋1<3，
即<<3，∴<<，故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋(a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝________”．
解析：由得a＝－2，
∴两直线平行的充要条件是“a＝－2”．
答案：－2
14．(2012年江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
解析：根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x轴上，且a2＝m，b2＝m2＋4，
故c2＝m2＋m＋4，于是e2＝＝＝()2，解得m＝2，经检验符合题意．
答案：2
15．(2013届安徽省示范高中高三摸底)设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________．
解析：设A、B的坐标为A(a,0)，B(0，b)，(a，b>0)，则AB的直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝，整理得＝ab，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号，又|AB|＝＝≥2，所以|AB|的最小值为2，此时a＝b，即a＝b＝2，切线方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
16．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|
易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.
答案：15
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．求经过7x＋8y＝38及3x－2y＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．
解：设所求直线为7x＋8y－38＋λ(3x－2y)＝0，
即(7＋3λ)x＋(8－2λ)y－38＝0，
令x＝0，y＝，令y＝0，x＝，
由已知，＝，
∴λ＝，即所求直线方程为x＋y－5＝0.
又直线方程不含直线3x－2y＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x－2y＝0亦为所求．
18．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
解：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，
∴a＋2b＝0，①
(2－a)2＋(3－b)2＝r2②
又直线x－y＋1＝0截圆所得的弦长为2，
∴r2－()2＝()2③
解由方程①、②、③组成的方程组得：
或
∴所求圆的方程为
(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
19．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx，
则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝，
所以k＝±，即双曲线G的渐近线的方程为
y＝±x.
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m，
把直线l的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程，
整理得3x2－8x－16－4m＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)
则xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，∵xP＝－4，xC＝0，即(xB＋4)(－4－xA)＝16，
整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.
将(*)代入上式得m＝28，
∴双曲线的方程为－＝1.
20．(2011年福建)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
解：
(1)法一：依题意，点P的坐标为(0，m)．
因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径
r＝|MP|＝
＝2.
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则 解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2)因为直线l的方程为y＝x＋m
所以直线l′的方程为y＝－x－m.
由得x2＋4x＋4m＝0.
Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；
②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．
21．(2012～2013学年度上学期辽宁省五校协作本高三期初联考)设椭圆C：
＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2＋＝0.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
解：(1)设Q(x0,0)，由F2(c,0)，A(0，b)
知＝(－c，b)，＝(x0，－b)
∵⊥，∴－cx0－b2＝0，x0＝－，[来源:高&考%资(源#网]
由于2＋＝0，即F1为F2Q中点．
故－＋c＝－2c，∴b2＝3c2＝a2－c2，
故椭圆的离心率e＝
(2)由(1)知＝，得c＝a于是F2(a,0)，Q(－a,0)，
△AQF的外接圆圆心为(－a,0)，半径r＝|FQ|＝a
所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，
所求椭圆方程为＋＝1.
(3)由(2)知F2(1,0) l：y＝k(x－1)
代入得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1≠x2，则x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，y2－y1＝k(x2－x1).＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)
由于菱形对角线垂直，则(＋)·＝0，∴(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0，即(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0.
故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0
则k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0
k2(－2)＋－2m＝0
由已知条件知k≠0且k∈R
∴m＝＝ ∴00，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
(2)当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0，于是＝3.
整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．
故k1＋k2＝－＝－.②
由得[来源:Ks5u.com]
k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1y2＝.④
同理可得
y3y4＝⑤
于是由②，④，⑤三式得
y1y2y3y4＝
＝
＝＝6 400.
所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.
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