多考点综合练(八)
测试内容：算法初步、复数、推理与证明
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数(i是虚数单位)的实部是 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：复数＝＝＝－i，
∴这个复数的实部是.
答案：A
2．(2012年黑龙江哈尔滨六中一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为 ( )
A．－ B．－2
C. D．2
解析：＝＝＝＋i，a为实数，
由此复数为纯虚数，可得解得a＝2.
答案：D
3．(2012年四川成都七中一模)若复数z满足＝2i，则在复平面上复数z对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由＝2i，得z＝2i(1＋i)＝2i＋2i2＝－2＋2i，
∴z对应的点位于复平面上的第二象限．
答案：B
4．(2012年北京海淀4月模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k值是
( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：开始将n＝5代进框图，5为奇数，∴代入n＝3n＋1，得n＝16，此时k＝1.此后n为偶数，则代入n＝中，因输出时的n＝1,1＝，k＝k＋1，∴当n＝1时，k＝1＋1＋1＋1＋1＝5，故选B.
答案：B
5．(2012年河南郑州三模)某算法的程序框图如图所示，则输出的S的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查程序框图及裂项相消法求和，体现了算法思想与数列求和问题的交汇．
由算法流程图可知，循环体共执行了2 012次．输出结果为
S＝＋＋…＋＝＝＝，选B.
答案：B
6．(2012年浙江杭州3月模拟)已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝.程序框图如图所示，若输出的结果S>，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是 ( )
A．n≤2 011? B．n≤2 012?
C．n>2 011? D．n>2 012?
解析：由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0得a＝，∴f′(x)＝x2＋x，即g(x)＝＝＝－.
由程序框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝0＋1－＋－＋…＋－＝1－>得n>2 011.故选B.
答案：B
7．如果下面的程序执行后输出的结果是11 880，那么在程序UNTIL后面的条件应为 ( )
A．i<10 B．i<＝10
C．i<＝9 D．i<9
解析：由于12×11×10×9＝11 880，所以执行循环的条件应是i≥9，循环直到i<9时停止，因此选D.
答案：D
8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖的块数是 ( )
A．4n B．4n＋1
C．4n＋2 D．4n－1
解析：第1～3个图案中白色地面砖的块数依次是6,10,14，由此猜测白色地面砖的块数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)．
答案：C[来源:Ks5u.com]
9．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{xn}的正周期最小时，该数列的前2 012项的和是 ( )
A．671 B．670
C．1 341 D．1 342
解析：x1＝1，x2＝a，x3＝|a－1|＝1－a，
x4＝|1－a－a|＝|1－2a|，
依题意知周期为3，
∴|1－2a|＝1，得a＝1，a＝0(舍去)．
∴x1＝1，x2＝1，x3＝0，从而S2 012＝1 342.
答案：D[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
10．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3×…·(2n－1)”，则n＝k＋1与n＝k时相比左端需增乘的代数式为 ( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时等式的左端为：(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)
当n＝k＋1时，等式的左端为：
(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋k)·(2k＋1)·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)·
＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)·2(2k＋1)
因此从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为2(2k＋1)，故选B.
答案：B
11．定义在R上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－ f(x＋2)，当x>1时， f(x)单调递增，如果x1＋x2>2且(x1－1)(x2－1)<0，则 f(x1)＋ f(x2)的值 ( )
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能为0 D．可正可负
解析：由 f(－x)＝－ f(x＋2)知函数y＝ f(x)关于点(1,0)对称，因此由x>1时 f(x)单调递增可知当x<1时函数 f(x)单调递增．
由(x1－1)(x2－1)<0知x1－1，x2－1异号，不妨设x1>1，
则x2<1.
∵x1＋x2>2，∴x1>2－x2.
由x2<1知2－x2>1，故x1>2－x2>1.
∴ f(x1)> f(2－x2)．
∵ f(2－x2)＝－ f(x2)．∴ f(x1)>－ f(x2)，
即 f(x1)＋ f(x2)>0.
答案：B
12．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(ⅰ)1] ( )
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n2
解析：由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2012年山东日照一模)在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝则f(1＋i)等于________．
解析：∵1＋i?R，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.
答案：2
14．(2012年江苏)下图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．
解析：∵k2－5k＋4>0，
∴k>4或k<1，则当k＝5时，循环终止，
∴k＝5.
答案：5
15．设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋bc2＋h2；②a3＋b3c5＋h5.
其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：______.
解析：可以证明②③正确，观察②a3＋b3b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.
解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．
由题意，有＋＝1.①
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)证明：证法一：
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得x＝.②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得
(1＋k2)2＝4k22＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>.
证法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x3，所以|k|>.
22．给出下面的数表序列：[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
表1
表2
表3
…
1
1 3
1 3 5
4
4 8
12
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)；
(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{bn}．求和：＋＋…＋(n∈N*)．
解：(1)表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20[来源:Ks5u.com]
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
(2)表n的第1行是1,3,5，…，2n－1，其平均数是＝n.
由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n·2k－1)，于是，表n中最后一行的惟一一个数为bn＝n·2n－1.
因此＝
＝＝
＝－(k＝1,2,3，…，n)，
故＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝4－.
高&考%资(源#网
w。w-w*k&s%5￥u
高&考%资(源#网
w。w-w*k&s%5￥u
【点此下载】