多考点综合练(七)
测试内容：统计、统计案例 计数原理 概率、随机变量及其分布
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下
组别
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为 ( )
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52.
答案：C
2．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 ( )
A．50 B．47 [来源:高&考%资(源#网]
C．48 D．52
解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，则第2小组的频率是0.75×＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.
答案：C
3．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5 727 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 9 647 1 417 4 698 0 371 6 233 2 616 8 045 6 011 3 661 9 597 7 424 6 710 4 281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( )
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P＝＝0.75.
答案：D
4．(2012年浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C＝1(种)，取2奇数2偶数的取法有C·C＝60(种)，取4个数均为奇数的取法有C＝5(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
5．(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3的项的系数是 ( )
A．120 B．－120
C．100 D．－100
解析：(1－2x)5(2＋x)＝2(1－2x)5＋x(1－2x)5
＝…＋2C(－2x)3＋…＋xC(－2x)2＋…
＝(4C－16C)x3＋…＝－120x3＋….
答案：B
6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Φ(x)＝P(ξ－x)＝1－Φ(－x)，②正确；P(|ξ|<2)＝P(－2<ξ<2)＝Φ(2)－Φ(－2)＝Φ(2)－1＋Φ(2)＝2Φ(2)－1，③正确．
答案：D
7．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，在D中随机取一点，则该点在E中的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析：函数y＝x2与x＝0，x＝2及x轴围成的面积为S1＝
x2dx＝，
故图中阴影部分面积为S＝2S1＝.
所以P(E)＝＝
答案：C
8．根据工作需要，现从4名女教师，a名男教师中选3名教师组成一个援川团队，其中a＝xdx，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 ( )
A．140 B．100
C．80 D．70
解析：∵(x2)′＝x，
∴a＝xdx＝×42＝5.
故团队中男、女教师都有的组队方案种数为CC＋CC＝40＋30＝70.
答案：D
9．(2013届山西省忻州实验中学高三第一次月考摸底)2012年6月17日晚，“神九”首次实现载人航天飞行，刘洋更是成为首次登上太空的女英雄．在他们要进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
解析：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．
∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A＝2种结果，∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有AA＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C.
答案：C
10．(2013年山东滨州联考)若二项式n的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x－4的系数是 ( )
A．80 B．40
C．20 D．10
解析：令x＝1，则3n＝243，解得n＝5.
二项展开式的通项是Tr＋1＝Cx5－r·2r·x－2r＝2r·C·x5－3r，由5－3r＝－4，得r＝3.
故展开式中x－4的系数是23C＝80.
答案：A
11．(2012年安徽)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为 ( )
A．1或3 B．1或4
C．2或3 D．2或4
解析：6人之间互相交换，总共有C＝15种，而实际只交换了13次，故有2次未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D.
答案：D
12．关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①一组数不可能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；
④一组数据的方差一定是正数；
⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆．
则这5种说法中错误的个数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：一组数中可以有两个众数，故①错；根据方差的计算可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2012年江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：根据分层抽样的特点，可得高二年级学生人数占学生总人数的，因此在样本中，高二年级的学生所占比例也应该为，故应从高二年级抽取50×＝15(名)学生．
答案：15
14．(2012年重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
解析：基本事件总数为A＝720，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有AA＝144；第二类：有两节艺术课相邻有ACACC＝216；第三类：三节艺术课相邻有CAA＝72.由古典概型概率公式得概率为＝.
答案：
15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_____．
解析：∵中位数为10.5，
∴＝10.5，a＋b＝21，
∵＝＝10，
∴s2＝[(2－10)2＋(3－10)2＋(3－10)2＋(7－10)2＋(a－10)2＋(b－10)2＋(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]．
令y＝(a－10)2＋(b－10)2
＝2a2－42a＋221＝2(a－)2＋.
当a＝10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值．
∴a＝10.5，b＝10.5.
答案：10.5、10.5
16．(2011年浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：P(X＝0)＝×(1－P)2＝，∴(1－p)2＝，
∴P＝
∴该毕业生得到乙、丙公司面试的概率均为
X的所有可能取值为0,1,2,3，设该毕业生分别得甲、乙、丙三个公司面试为事件A，B，C
∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝
∴P(X＝0)＝
P(X＝1)＝P(A ＋ C＋ B )＝××＋××＋××＝
P(X＝2)＝P(AB ＋A C＋ BC)＝××＋××＋××＝
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝
∴E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(2011年广东)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．
解：(1)依题意，乙厂生产的产品数量为×5＝35件．
(2)由表中数据知5件样本中有2号、5号满足x≥175，y≥75.故有2件优等品，占总数的，
∴乙厂生产的35件产品中优等品应为35×＝14件．
18．(2012年广东)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)由题图可知10x＝1－3×0.006×10－0.01×10－
0．054×10＝0.18?x＝0.018.
(2)由题图可知成绩不低于80分的频率为0.018×10＋
0．006×10＝0.24，
∴成绩不低于80分的学生人数为0.24×50＝12，其中成绩在90分以上的人数为0.06×50＝3.
∴ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
19．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复的五位数．
(1)被4整除；[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
(2)比21 034大的偶数；
(3)左起第二、四位是奇数的偶数．
解：(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分两类：当末两位数是20,40,04时，其排列数为3A＝18个，当末两位数是12,24,32时，其排列数为3·AA＝12个，故满足条件的五位数共有3A＋3AA＝30个．
(2)法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，
有AA＋A＝6个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有AA＝12个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有AA＝12个；当末位数字是4，而首位数字是2时，有A＋A＝3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个．
故有(AA＋A)＋AA＋AA＋A＋A＋A＝39个．
法二：不大于21 034的偶数可分为三类：
万位数字为1的偶数，有AA＝18个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有A个；
还有21 034本身．
而由0,1,2,3,4组成的五位偶数有A＋AAA＝60个．
故满足条件的五位偶数共有60－AA－A－1＝39个．
(3)法一：可分两类，0是末位数，有AA＝4个，2或4是末位数，有AA＝4个．故共有AA＋AA＝8个．
法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A；首位从2,4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，
故共有AAA＝8个．
20．(2012年河北正定中学高三月考)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝，乙的命中率为P2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．
(1)若P2＝，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
(2)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P2的取值范围．
解：(1)P＝＋＝；
(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
P＝[C·P2·(1－P2)]＋P＝P2－P
而ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P
由E(ξ)≥5知·12≥5
解得：≤P2≤1.
21．(2012年湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延
误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(x≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤x<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
22．(2012年辽宁)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：K2＝
表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意X～B，从而X的分布列为
X
0 1 2 3
P
E(X)＝np＝3×＝，D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
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