2013高考试题解析分类汇编（理数）4：数列 一、选择题  ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列满足,则的前10项和等于 (A) (B) (C) (D) C 所以3an+1+an=0 所以 所以数列{an}是以﹣为公比的等比数列 因为 所以a1=4 由等比数列的求和公式可得，s10==3（1﹣3﹣10） 故选C  ．（2013年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( ) A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 B 因为an+1=an，，，所以an=a1， 所以bn+1+cn+1=an+=a1+， 所以bn+1+cn+1﹣2a1=， 又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1， 于是，在△AnBnCn中，边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值， 因为bn+1﹣cn+1==， 所以bn﹣cn=， 当n→+∞时，有bn﹣cn→0，即bn→cn， 于是△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大， 所以其面积=为递增数列， 故选B．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是  (A) (B) (C)  (D) B 由题知，过原点的直线y = x与曲线相交的个数即n的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B  ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列的公比为q,记 则以下结论一定正确的是( ) A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 C 等比数列的公比为q, 同理可得,数列为等比数列，故选C  ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列的前项和为,已知,,则 (A) (B) (C) (D) C 设等比数列{an}的公比为q，因为S3=a2+10a1，a5=9，所以，解得．所以．故选C．  ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3，所以公差d=am+1﹣am=1， Sm==0，得a1=﹣2，所以am=﹣2+（m﹣1）?1=2，解得m=5，故选C．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差的等差数列的四个命题:     其中的真命题为 (A) (B) (C) (D) D 设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确,选D.  ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 A 本题考查等比数列的运算。由，即，解得或。当时，前三项为不成立，舍掉。当时，前三项为，公比为，所以第四项为，选A. 二、填空题 ．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和. 解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.  设等差数列{an}的首项为a，公差为d， 因为S10=10a+45d=0，S15=15a+105d=25， 所以a=﹣3，d=， 所以等差数列{an}的各项为：﹣3，﹣，﹣，﹣1，﹣，，1，，，3，，，5，…， 根据题意得：当n=1时，S1=﹣3；当n=2时，2S2=﹣；当n=3时，3S3=﹣21；当n=4时，4S4=﹣32； 当n=5时，5S5=﹣；当n=6时，6S6=﹣48；当n=7时，7S7=﹣49；当n=8时，8S8=﹣； 当n=9时，9S9=﹣27；当n=10时，10S10=0；…，其余结果为正， 所以nSn的最小值为7S7=﹣49． ．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式: 三角形数  正方形数  五边形数  六边形数  可以推测的表达式,由此计算___________. 选考题 1000 本题考查归纳推理。由归纳推理可知： N(n,k)=,所以N(10,24)。 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数 的值为_____________. 12    又时符合题意，所以的最大值为 ．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则 (1)_____; (2)___________. ; 本题考查数列的通项公式以及数列求和。即,即,解得:.当是偶数且时,.又,所以.因此,所以,即偶数项的和为零,所以 . ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则  【命题立意】本题考查等差数列，等比数列的基本运算以及数列求和。因为成等比数列，所以，即，所以，即，所以。所以。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列中,已知,则_____.  ；依题意,所以. 或: ．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:     照此规律, 第n个等式可为_______.  【KS5U解析】分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。 当n为偶数时，分组求和：。 当n为奇数时，第n个等式=。 综上，第n个等式： ．（2013年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______. =. 解析】当n=1时，a1=S1=，解得a1=1 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（）=， 整理可得，即=﹣2， 故数列{an}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列， 故 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.   .    ．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________. 2, 设等比数列{an}的公比为q， 因为a2+a4=20，a3+a5=40，所以，解得． 所以==2n+1﹣2． ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________. 63 . 由题意知，又，所以，所以，代入等比求和公式得。 三、解答题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,证明: (Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足; (Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足. 解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .   综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕) (Ⅱ) 由题知 上式相减: . 法二:   ．（2013年高考上海卷（理））(3?分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足. (1)若,求及;(2)求证:对任意,; (3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由. :(1)因为,,故,  (2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,  即只需证明 若,显然有成立; 若,则显然成立 综上,恒成立,即对任意的, (3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有 此时, 即 故, 即, 当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意; 若,则, 此时,也满足题意; 综上,满足题意的的取值范围是. ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分. 设数列,即当时,,记,对于,定义集合 (1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数. 本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,, ∴,,,,,,,,,, ∴,,,, ∴集合中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, ① 当时, 故原式成立 ② 假设当时,等式成立,即 故原式成立 则:,时,   综合①②得: 于是  由上可知:是的倍数 而,所以是 的倍数 又不是的倍数, 而 所以不是的倍数 故当时,集合中元素的个数为 于是当时,集合中元素的个数为 又 故集合中元素的个数为 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列. (1)求; (2)若,求 解:(Ⅰ)由已知得到:  ; (Ⅱ)由(1)知,当时,, ①当时,  ②当时,  所以,综上所述:; ．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列满足:,. (I)求数列的通项公式; (II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由. 解:(I)由已知条件得:,又,, 所以数列的通项或 (II)若,,不存在这样的正整数; 若,,不存在这样的正整数. ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为,且,. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和. 解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得,, 因此  (Ⅱ)由题意知: 所以时, 故,  所以, 则 两式相减得  整理得 所以数列数列的前n项和 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数. (1)若,且成等比数列,证明:(); (2)若是等差数列,证明:. 证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和 ∴ (1)∵ ∴ ∵成等比数列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左边= 右边= ∴左边=右边∴原式成立 (2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:  ∴对恒成立 ∴ 由①式得: ∵  ∴  由③式得: 法二:证:(1)若,则,,. 当成等比数列,, 即:,得:,又,故. 由此:,,. 故:(). (2),  . (※) 若是等差数列,则型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而≠0, 故. 经检验,当时是等差数列. ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.   ．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足: (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有 (1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则.  . ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列的前项和为.已知,,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求数列的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数,有. .(1) 解: ,.  当时, 又, (2)解: ,.   ① 当时, ② 由① — ②,得     数列是以首项为,公差为1的等差数列.  当时,上式显然成立.  (3)证明:由(2)知, ①当时,,原不等式成立. ②当时, ,原不等式亦成立. ③当时,      当时,,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有. ．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值; (II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列; (III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. (I) (II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以 因此,,. (必要性)因为,所以. 又因为,,所以. 于是,. 因此,即是公差为的等差数列. (III)因为,所以,.故对任意. 假设中存在大于2的项. 设为满足的最小正整数,则,并且对任意,. 又因为,所以,且. 于是,. 故,与矛盾. 所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2. 因此对任意,,所以. 故. 因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1. ．（2013年高考陕西卷（理）） 设是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列. 解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ① ②. 上面两式错位相减:  . ③综上, (Ⅱ) 使用反证法. 设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则 ①当=0成立,则不是等比数列. ②当成立,则 .这与题目条件q≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列不是等比数列.
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