2013高考试题解析分类汇编（理数）7：立体几何 一、选择题  ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为  （　　） A． B． C． D． A 设正方体上底面所在平面截球得小圆M， 则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42， 解出R=5， 所以根据球的体积公式，该球的体积V===． 故选A．   ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （　　） A．若,,,则 B．若,,,则 C．若,,,则 D．若,,,则 D D；ABC是典型错误命题,选D．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于 （　　） A． B． C． D． A 设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示：  则D（0，0，2），C1（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2）， =（1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，1，0）， 设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（﹣2，2，1）， 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=， 故选A．  ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为  （　　） A． B． C． D． A 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． 所以长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π； 故选A．   ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（　　） A． B． C． D．  C 本题考查三视图以及空间几何体的体积。从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为，，所以，故选C.  ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （　　） A． B． C． D． C 本题考查三视图的判断。因为正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则说明正方体为水平放置，则正视图的最大面积为正方体对角面，此时面积为，最小面积为正方体的一个侧面，面积为1，所以侧视图的面积,所以面积不可能的是，选C.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是  （　　） A． B． C． D． B 由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 和的正方形,高为,故,故选B．  ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则 （　　） A．,且 B．,且 C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于 D 由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α， 又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β． 由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D． ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为 （　　） A． B． C． D． 　　　B 取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即，选B.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题图所示,则该几何体的体积为 （　　） A． B． C． D．  C 【命题立意】本题考查三视图以及空间几何体的体积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4,。所以梯形的面积为，所以四棱柱的体积为，选C. ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （　　） A． B． C． D． C 由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C. ．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么  （　　） A．8 B．9 C．10 D．11 A 本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断。由图象可知，其中上底面与CE平行，下底面过直线CE。在正四面体题中，取CD的中点H,则,又AB//CD，所以平面平行于正方体的左右两个侧面，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数。所以，选A.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为  （　　） A． B． C． D． A 因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为： 故选A．   ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中,不是公理的是 （　　） A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 A B,C,D说法均不需证明，也无法证明，是公理；A选项可以推导证明，故是定理。 所以选A ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则 （　　） A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的(锐)二面角为 C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为 A ：设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足 因为Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1）， 所以点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足 同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足 因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足 因为对任意的点P，恒有PQ1=PQ2， 所以点Q1与Q2重合于同一点 由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角 因为∠P1Q1P2是直角，所以平面α与平面β垂直 故选：A  ．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是   D 由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C． 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D． 二、填空题 ．（2013年高考上海卷（理））在平面上,将两个半圆弧和、两条直线 和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为__________  . 【解答】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为． ．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为________.   【KS5U解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,,且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于______.  如图所示，设球O的半径为r，根据题意得OC=，CK= 在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即 所以r2=4 所以球O的表面积等于4πr2=16π 故答案为16π  ．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.   如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1， 因为，CC1⊥底面ABCD，所以四边形EFC1C是矩形． 所以CC1∥EF， 又EF?平面D1EF，CC1?平面D1EF，所以CC1∥平面D1EF． 所以直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离． 过点C1作C1M⊥D1F， 因为平面D1EF⊥平面A1B1C1D1． 所以C1M⊥平面D1EF． 过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C． 取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形． 可得NP⊥平面D1EF， 在Rt△D1C1F中，C1M?D1F=D1C1?C1F，得=． 所以点P到直线CC1的距离的最小值为． ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则____________.    所以 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________.  24 ：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图： V=V棱柱﹣V三棱锥=﹣×3=24（cm3） 故答案为：24  ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).  ①当时,S为四边形;②当时,S为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为六边形;⑤当时,S的面积为. ①②③⑤ . 对①，,则所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真. 对②, ，截面S为四边形截面S为等腰梯形. 所以为真. 对③, 所以为真. 对④, .截面S与线段相交，所以四边形S为五边形.所以为假. 对⑤, .对角线长度分别为 所以为真. 综上，选①②③⑤ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.   由三视图可知该几何体圆柱中去除正四棱柱。 所以该几何体的体积。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________   由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体， 三、解答题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (I)求证: (II)    ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥中,,,为的中点,. (1)求的长; (2)求二面角的正弦值.    ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面所成的角为60°.  (Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于底面; (Ⅱ)求. 解: (Ⅰ)   . 所以,. (Ⅱ) . . . 法二:   ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且. (1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.  解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;  方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,,所以在中, ,所以在中  ; ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中,,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.  [解]因为 . 所以为异面直线与.所成的角,即=. 在Rt中,, 从而, 因此该三棱柱的体积为. ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分. 如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点. 求证:(1)平面平面; (2).  证明:(1)∵,∴F分别是SB的中点 ∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB 又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC 又∵EFFG=F, EF.FG平面ABC∴平面平面 (2)∵平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC 又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA ．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.  因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,,故 所以,,即直线BC1到平面D1AC的距离为. ．（2013年高考湖北卷（理））如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点. (I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明; (II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.  解:(I),,  又   (II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)     ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中. (Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.  (Ⅰ) 在图1中,易得  连结,在中,由余弦定理可得  由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. (Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 所以,所以二面角 的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则,, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为. ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值. (Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长.    ．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.  (Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,  ∵AB=,=,∴是正三角形, ∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面, ∴AB⊥; (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB, 又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥, ∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), ∴=, ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D; (Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.  解:(Ⅰ) ;又因为,在正方形AB CD中,. 在正方形AB CD中,AO = 1 .  . .(证毕) (Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则 . 由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量 设平面OCB1的法向量为 . 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 ．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥中,,,连接并延长交于. (1) 求证:; (2) 求平面 与平面的夹角的余弦值.  解:(1)在中,因为是的中点,所以, 故, 因为,所以, 从而有, 故,又因为所以∥. 又平面, 所以故平面. (3) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则, (4)  ,故 设平面的法向量,则 , 解得,即. 设平面的法向量,则,解得, 即.从而平面与平面的夹角的余弦值为. ．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段的中点. (Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.  解:如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,  在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面. 由已知,,是的中点,所以,,则直线. 因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面 解法一: 连接,过作于,过作于,连接. 由知,平面,所以平面平面. 所以平面,则. 所以平面,则. 故为二面角的平面角(设为). 设,则由,,有,. 又为的中点,所以为的中点,且, 在中, ;在中, . 从而,,, 所以. 所以. 故二面角的余弦值为 解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).  则,. 因为为的中点,所以分别为的中点, 故, 所以,,. 设平面的一个法向量为,则 即故有  从而 取,则,所以. 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以. 设二面角的平面角为,又为锐角, 则. 故二面角的余弦值为 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分. 如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点 (1)求异面直线与所成角的余弦值 (2)求平面与所成二面角的正弦值.  本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系,  则,,,, ∴, ∴ ∴异面直线与所成角的余弦值为 (2) 是平面的的一个法向量 设平面的法向量为,∵, 由 ∴ 取,得,∴平面的法向量为 设平面与所成二面角为 ∴, 得 ∴平面与所成二面角的正弦值为 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四棱锥中,与都是等边三角形. (I)证明: (II)求二面角的大小.     ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥中,平面,, 分别是的中点, ,与交于点,与交于点,连接. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求二面角的余弦值.  解:(Ⅰ)证明:因为 分别是的中点, 所以∥,∥,所以∥, 又平面,平面, 所以∥平面, 又平面,平面平面, 所以∥, 又∥, 所以∥. (Ⅱ)解法一:在△中, ,, 所以,即,因为平面,所以, 又,所以平面,由(Ⅰ)知∥, 所以平面,又平面,所以,同理可得, 所以为二面角的平面角,设,连接, 在△中,由勾股定理得,, 在△中,由勾股定理得,, 又为△的重心,所以 同理 , 在△中,由余弦定理得, 即二面角的余弦值为. 解法二:在△中,,, 所以,又平面,所以两两垂直, 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,,所以,,,, 设平面的一个法向量为, 由,, 得 取,得. 设平面的一个法向量为 由,, 得 取,得.所以 因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为. ．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱,,.  (I)证明:; (II)求直线所成角的正弦值. 解: (Ⅰ)  . (证毕) (Ⅱ)     . ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四棱柱中,侧棱,,,,,,. (1)求证: (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值; (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)  解:(Ⅰ)取中点,连接 , 四边形为平行四边形 且 在中,  ,即,又,所以 平面,平面 ,又, 平面 (Ⅱ)以为原点,的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,,, 所以,, 设平面的法向量,则由 得取,得 设与平面所成角为,则 ,解得.故所求的值为1 (Ⅲ)共有种不同的方案  ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））如图,直棱柱中,分别是的中点,. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值.   ．（2013年高考北京卷（理））如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.  解: (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,. 所以. 由,即.解得. 因为,所以在线段BC1上存在点D, 使得AD⊥A1B. 此时,.
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