2013年高考解析分类汇编6：不等式
一、选择题
．（2013年高考四川卷（文8））若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
条件表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四顶点可知，当，时，，当，时，，所以，选C.
．（2013年高考福建卷（文））若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为 （ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
【答案】B
本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．
．（2013年高考课标Ⅱ卷（文3）） 设满足约束条件，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如图,平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线z=2x-3y得，选B.
．（2013年高考福建卷（文））若,则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
本题考查的是均值不等式．因为，即，所以，当且仅当，即时取等号．
．（2013年高考江西卷（文6））下列选项中,使不等式x<<成立的x的取值范围是 （ ）
A．(,-1) B．(-1,0) C．0,1) D．(1,+)
【答案】A
本题考查不等式的解法。若，则原不等式等价为，即，解得无解。若，则原不等式等价为，即，即，所以，即的取值范围是，选A.
．（2013年高考山东卷（文12））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 （ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
由题设知，解得，当且仅当时取等号，. ，故选C.
．（2013年高考课标Ⅱ卷（文12））若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D.
．（2013年高考天津卷（文2））设变量x, y满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
A．-7 B．-4
C．1 D．2
【答案】A
由得。作出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即代入得，选A.
．（2013年高考湖北卷（文））某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行,、两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且型车不多于型车7辆.则租金最少为 （ ）
A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元
【答案】C
本题考查线性规划的实际应用。设、两种车辆的数量为，则由题意知，则所求的租金。作出可行域如图，由得，，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，的截距最小，此时最小。由，解得，即,代入得，选C.
．（2013年高考陕西卷（文7））若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x-y的最小值为 （ ）
A．-6 B．-2 C．0 D．2
【答案】A
的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值。所以选A
．（2013年高考重庆卷（文7））关于的不等式()的解集为,且:,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
本题考查一元二次不等式的解法。不等式的解集为，则是方程的两个根，所以。又，所以，即，整理得，因为，所以，选A.
．（2013年高考北京卷（文2））设,且,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
利用特值法和排除法结合可快速判断，A：由于C的正负号不确定，若C为零或负数，不成立，则错误；B：若，无意义，错误；C：，就不满足，错误；答案只能为D。另外从函数的单调性的角度亦可快速判断，A容易排除，BCD四个选项分别代表了反比例函数，二次函数，三次幂函数，只有三次幂函数定义域为R且在R上单调递增。
二、填空题
．（2013年高考大纲卷（文15））若满足约束条件则____________.
【答案】0
作出可行域，如图，A(0,4)，B(1,1)，过B(1,1)时截距最少，此时，填0.
．（2013年高考浙江卷（文16））设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则等于______________.
【答案】
当时，代入不等式有，所以。当时，可得，结合，得。令，则。。令，则，由，解得，即函数在上递减，在上递增。又，所以，，且当时，恒有，且知，1必为函数的极小值点，也是最小值。所以，解得，，所以。
．（2013年高考湖南（文13））若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________
【答案】6
【命题立意】本题考查线性规划的应用。设，则。作出可行域如图。平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大。由，得，即，代入,得.
．（2013年高考重庆卷（文15））设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.
【答案】
本题考查一元二次不等式恒成立问题以及三角函数的基本运算。不等式恒成立，所以，即，整理得，即，所以，即，因为，所以或，即的取值范围是。
．（2013年高考山东卷（文14））在平面直角坐标系中,为不等式组所表示的区域上一动点,则直线的最小值为_______
【答案】
画出不等式组表示的平面区域，可知|OM|的最小值应是O点到直线的距离，即。
．（2013年高考四川卷（文13））已知函数在时取得最小值,则__________.
【答案】36
解法一： (当且仅当，即时取等号)，所以，故填36.
解法二：，，所以，所以，故填36.
．（2013年高考课标Ⅰ卷（文14））设满足约束条件 ,则的最大值为______.
【答案】3
由得。作出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，由得，即，代入得最大值。
．（2013年高考浙江卷（文15））设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数________ .
【答案】2
次不等式表示的平面区域如图4所示y=-kx+z 。当k>0时，直线：平移到A点时目标函数取最大值，即当4k+4=12 所以K=2 ，当K<0时 ，直线：
平移到A或B点是目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以k=2，所以填2
．（2013年上海高考数学试题（文科1））不等式的解为_________.
【答案】
．（2013年高考北京卷（文12））设为不等式组,表示的平面区域,区域上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为___________.
【答案】
画出可行域，到(1，0)距离最小值为点(1，0)到直线的距离。
此时。
．（2013年高考陕西卷（文14））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为___(m).
【答案】20
利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得:
.
．（2013年高考天津卷（文14））设a + b = 2, b>0, 则的最小值为______.
【答案】
因为，所以。显然当时，且时，上式取等号，此时，联立，解得，此时。所以当时，的最小值为。
．（2013年上海高考数学试题（文科13））设常数,若对一切正实数成立,则的取值范围为________.
【答案】
考查均值不等式的应用。
．（2013年高考广东卷（文13））已知变量满足约束条件,则的最大值是___.
【答案】
画出可行域如图，最优解为，故填 5 ；
．（2013年高考安徽（文））若非负数变量满足约束条件,则的最大值为__________.
【答案】4
由题意约束条件的图像如下：
当直线经过时，，取得最大值.
【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取最大.
三、解答题
．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.
甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.
(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为;
(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.
【答案】解:(1)每小时生产克产品,获利,
生产千克该产品用时间为,所获利润为.
(2)生产900千克该产品,所获利润为
所以,最大利润为元.
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