2013年高考解析分类汇编7：立体几何 一、选择题  ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为
（　　） A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。所以梯形的面积为
，梯形的周长为
。所以四棱柱的表面积为
，选D.  ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是
，
，
，
，画该四面体三视图中的正视图时，以
平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体
的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.
 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为
（　　） A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为
，正方体的体积为
，所以该几何体的体积为
，选A.  ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥
的正弦值等于 （　　） A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】如图，因为BD⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面BDC1，在Rt△CC1O中，过C作CH⊥C1O于H，连结DH，则∠CDH即为所求，令
，显然
，所以
，故选A.
 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （　　） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为圆台.  ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是
（　　） A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3 【答案】B 【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。所以该几何体的体积为
，选B.
 ．（2013年高考北京卷（文8））如图,在正方体
中,
为对角线
的三等分点,则
到各顶点的距离的不同取值有
 （　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解析】设正方体边长为3，则
，
，
，
，
，
，故共有4个不同的取值。  ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是
（　　） A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则
，选B.  ．（2013年高考湖南（文7））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为
的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______ （　　） A．
B．1 C．
D．
【答案】D 【解析】本题考查三视图的计算。因为侧视图是一个面积为
的矩形，所以侧视图的底长为
，即侧视图看到的是正方形的对角线，所以正视图和侧面图面积相同，即为
，选D. ．（2013年高考浙江卷（文4））设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （　　） A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥β C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β 【答案】C 【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A,B错误。两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以C正确，选C. ．（2013年高考辽宁卷（文10））已知三棱柱
的6个顶点都在球
的球面上,若
,
,
,则球
的半径为 （　　） A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=
，由垂径定理，OM=6，所以半径R=
,选C. ．（2013年高考广东卷（文））设
为直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （　　） A．若
,
,则
B．若
,
,则
C．若
,
,则
D．若
,
,则
【答案】B 【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A错误.垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B正确。C中，
，所以错误。D中，
也有可能。所以选B. ．（2013年高考山东卷（文4））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是
（　　） A．
B．
C．
D．8,8 【答案】B 【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是2，高为2，侧面上的斜高是
，所以
，故选B. ．（2013年高考江西卷（文8））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为
（　　） A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π 【答案】A 【解析】本题考查三视图以及空间几何体的体积。由三视图可在，该几何体下半部分为长方体，边长分别为810,4,5，所以体积为
。上半部分为平放的半圆柱，上底半径为3，高是2，所以半圆柱的体积为
，所以该几何体的体积为
，选A. 二、填空题 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文15））已知正四棱锥
的体积为
，底面边长为
，则以
为球心，
为半径的球的表面积为________。 【答案】
【解析】设正四棱锥的高为
，则
，解得高
。则底面正方形的对角线长为
，所以
,所以球的表面积为
. ．（2013年高考湖北卷（文16））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【答案】3 【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图
,由题意知，
（单位寸，下同），
,
,即
是中点，所以
为梯形的中位线，所以
，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为
。喷口的面积为
，所以
，即平地降雨量是3寸。 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文15））已知
是球
的直径
上一点,
,
平面
,
为垂足,
截球
所得截面的面积为
,则球
的表面积为_______. 【答案】
【解析】因为
截球
所得截面的面积为
，所以截面小圆的半径
.设球半径为
，则
，所以
.在直角三角形
中，
，即
，解得
，所以球的表面积为
。
．（2013年高考卷（文10））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.
 【答案】3 【解析】由题意，该四棱锥底面为边长等于3的正方形，体高为1，
. ．（2013年高考陕西卷（文12））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.
【答案】
【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 =
。 ．（2013年高考大纲卷（文16））已知圆
和圆
是球
的大圆和小圆,其公共弦长等于球
的半径,
则球
的表面积等于______. 【答案】
【解析】如图，公共弦MN=R,中点为E，连OE、KE，则
，所以
，在Rt△OME中，
，即
，所以
.所以球的表面积为
.
．（2013年上海高考数学试题（文科10））已知圆柱
的母线长为
,底面半径为
,
是上地面圆心,
、
是下底面圆周上两个不同的点,
是母线,如图.若直线
与
所成角的大小为
,则
________. 【答案】
【解析】
．（2013年高考天津卷（文10））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
, 则正方体的棱长为 ______. 【答案】
【解析】设正方体的棱长为
，则正方体的体对角线为直径，即
，即球半径
。若球的体积为
，即
，解得
。 ．（2013年高考辽宁卷（文13））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.
【答案】
【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。



. ．（2013年高考江西卷（文15））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.
【答案】4 【解析】本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断在正四面体题中，取CD的中点H,则
,又AB//CD，所以平面
平行于正方体的左右两个侧面，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数由图象可知4。
．（2013年高考安徽（文））如图,正方体
的棱长为1,
为
的中点,
为线段
上的动点,过点
的平面截该正方体所得的截面记为
,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①当
时,
为四边形;②当
时,
为等腰梯形;③当
时,
与
的交点
满足
;④当
时,
为六边形;⑤当
时,
的面积为
. 【答案】①②③⑤ 【解析】（1）
，S等腰梯形，②正确，图如下：
（2）
，S是菱形，面积为
，⑤正确，图如下：
（3）
，画图如下：
，③正确
（4）
，如图是五边形，④不正确；
（5）
，如下图，是四边形，故①正确
【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。 三、解答题 ．（2013年高考辽宁卷（文））如图,
(I)求证:
(II)设

【答案】 由AB式圆O的直径，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC, 又PA∩AC=A,PA?平面PAC，AC?平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. （II） 连OG并延长交AC与M，链接QM，QO. 由G为?AOC的重心，得M为AC中点， 由G为PA中点，得QM//PC. 又O为AB中点，得OM//BC. 因为QM∩MO=M,QM?平面QMO. 所以QG//平面PBC. ．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ; (Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值; (Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求 的值.
 【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形
是等腰三角形,且底角等于30°,且
,所以;、
,又因为
; (Ⅱ)设
,由(1)知
,连接
,所以
与面
所成的角是
,由已知及(1)知:
,
,所以
与面
所成的角的正切值是
; (Ⅲ)由已知得到:
,因为
,在
中,
,设
．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
.
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. 【答案】解: (Ⅰ) 设
.
.


.(证毕) (Ⅱ)
. 在正方形AB CD中,AO = 1 .

. 所以,
. ．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥
中,
,
,
,
,
,
,
. (1)当正视图方向与向量
的方向相同时,画出四棱锥
的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若
为
的中点,求证:
; (3)求三棱锥
的体积.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形
中,过点
作
,垂足为
, 由已知得,四边形
为矩形,
在
中,由
,
,依勾股定理得:
,从而
又由
平面
得,
从而在
中,由
,
,得
正视图如右图所示: (Ⅱ)取
中点
,连结
,
在
中,
是
中点, ∴
,
,又
,
∴
,
∴四边形
为平行四边形,∴
又
平面
,
平面
∴
平面
(Ⅲ)
又
,
,所以
解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)取
的中点
,连结
,
在梯形
中,
,且
∴四边形
为平行四边形 ∴
,又
平面
,
平面
∴
平面
,又在
中,

平面
,
平面
∴
平面
.又
, ∴平面
平面
,又
平面
∴
平面
(Ⅲ)同解法一 ．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形
中,
分别是
边上的点,
,
是
的中点,
与
交于点
,将
沿
折起,得到如图5所示的三棱锥
,其中
. (1) 证明:
//平面
; (2) 证明:

平面
; (3) 当
时,求三棱锥
的体积
.

【答案】(1)在等边三角形
中,

,在折叠后的三棱锥
中 也成立,
,
平面
,
平面
,
平面
; (2)在等边三角形
中,
是
的中点,所以
①,
.
在三棱锥
中,
,
②
; (3)由(1)可知
,结合(2)可得
.
．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=
,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动. (I) 证明:AD⊥C1E; (II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.
【答案】解: (Ⅰ)
.

.
(证毕) (Ⅱ)
.
.
．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥
中,
,
,
,平面
底面
,
,
和
分别是
和
的中点,求证: (1)
底面
;(2)
平面
;(3)平面
平面

【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD. (II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形, 所以BE∥AD,又因为BE
平面PAD,AD
平面PAD 所以BE∥平面PAD. (III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD 所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点 所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱
中,
,
,
. (Ⅰ)证明:
; (Ⅱ)若
,
,求三棱柱
的体积.
【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接
、
、
,因为CA=CB,所以
,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故
为等边三角形,所以OA
⊥AB.
因为OC?OA
=O,所以AB
平面OA
C.又A
CC平面OA
C,故AB
AC. (II)由题设知



．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥
中,
,
,
分别为
的中点 (Ⅰ)求证:
;(Ⅱ)求证:

【答案】



．（2013年高考四川卷（文）） 如图,在三棱柱
中,侧棱
底面
,
,
,
分别是线段
的中点,
是线段
上异于端点的点. (Ⅰ)在平面
内,试作出过点
与平面
平行的直线
,说明理由,并证明直线
平面
; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线
交
于点
,求三棱锥
的体积.(锥体体积公式:
,其中
为底面面积,
为高)
【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点
作直线
,因为
在平面
外,BC在平面
内,由直线与平面平行的判定定理可知,
平面
. 由已知,
,
是BC中点,所以BC⊥AD,则直线
, 又因为
底面
,所以
, 又因为AD,
在平面
内,且AD与
相交, 所以直线
平面
(Ⅱ)过D作
于E,因为
平面
,所以
, 又因为AC,
在平面
内,且AC与
相交,所以
平面
, 由
,∠BAC
,有
,∠DAC
, 所以在△ACD中,
, 又
,所以
因此三棱锥
的体积为
．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为
.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为
,
,且
. 过
,
的中点
,
且与直线
平行的平面截多面体
所得的截面
为该多面体的一个中截面,其面积记为
. (Ⅰ)证明:中截面
是梯形; (Ⅱ)在△ABC中,记
,BC边上的高为
,面积为
. 在估测三角形
区域内正下方的矿藏储量(即多面体
的体积
)时,可用近似公式
来估算. 已知
,试判断
与V的大小关系,并加以证明.
 【答案】(Ⅰ)依题意
平面
,
平面
,
平面
, 所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又
,
,
,且
. 因此四边形
、
均是梯形. 由
∥平面
,
平面
,且平面

平面
, 可得AA2∥ME,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG. 又
、
分别为
、
的中点, 则
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点, 即
、
分别为梯形
、
的中位线. 因此
,
, 而
,故
,所以中截面
是梯形. (Ⅱ)
. 证明如下: 由
平面
,
平面
,可得
. 而EM∥A1A2,所以
,同理可得
. 由
是△
的中位线,可得
即为梯形
的高, 因此
, 即
. 又
,所以
. 于是
. 由
,得
,
,故
. ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图，直三棱柱
中，
，
分别是
，
的中点，。 （Ⅰ）证明：
平面
； （Ⅱ）设
，
，求三棱锥
的体积。
【答案】
．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥
都是边长为
的等边三角形. (I)证明:
(II)求点

【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE. 由
和
都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故
,从而
. 因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,
. (Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,
,故
. 又
,
, 故
为等腰三角形,因此,
. 又
,所以
平面PCD. 因为AE//CD,
平面PCD,
平面PCD,所以AE//平面PCD. 因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而
, 所以A至平面PCD的距离为1. ．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥
的底面
是边长为2的菱形,
.已知
. (Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若
为
的中点,求三菱锥
的体积.
【答案】解:
(1)证明:连接
交于
点

又

是菱形
而

⊥面


⊥
(2) 由(1)
⊥面

=

．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥
底面边长为
,高为
,求该三棱锥的体积及表面积.
【答案】

．（2013年高考天津卷（文）） 如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明EF//平面A1CD; (Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1; (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
【答案】

．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分) 如题(19)图,四棱锥
中,
⊥底面
,
,
,
.zhangwlx (Ⅰ)求证:
⊥平面
; (Ⅱ)若侧棱
上的点
满足
,求三棱锥
的体积.
【答案】


．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=
,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3 (1) 证明:BE⊥平面BB1C1C; (2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离
【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则
在
在
,故
由
(2)

, 同理,

因此
.设点B1到平面
的距离为d,则

,从而

---

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