1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．已知命题p：函数f(x)＝x－logx在区间内存在零点，命题q：存在负数x使得x>x.给出下列四个命题：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 命题p为假命题，命题q也为假命题．利用真值表判断．
答案 B
2.已知命题p：存在n∈N,2n>1 000，则非p为( )
A．任意n∈N,2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000
C．存在n∈N,2n≤1 000 D．存在n∈N,2n<1 000
解析：特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p(x)，则非p：任意x∈M，非p(x)．
答案：A
3． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
解析 (筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.
答案 C
4．已知p：x2－2x－3≥0，q：x∈Z.若p且q，非q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x?Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{x|x＜－1或x>3，x?Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
解析 p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，则由p且q，非q同时为假命题知，p假q真，所以x满足－13x”的否定是“任意x∈R，x2＋1<3x”；
②已知p、q为两个命题，若“p或q”为假命题，则“非p且非q为真命题”；
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．② D．④
解析：命题“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p或q”为假命题说明p和q都假，则非p且非q为真命题，故②对；a>5?a>2，但a>2 a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错； “若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
答案：C
6．下列命题错误的是( )．
A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程
x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则非p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析 依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．
答案 C
7．已知p：存在x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )．
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
解析 (直接法)∵p或q为假命题，∴p和q都是假命题．
由p：存在x∈R，mx2＋2≤0为假，得任意x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①
由q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得存在x∈R，x2－2mx＋1≤0，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
答案 A
【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.
二、填空题
8．用含有逻辑联结词的命题表示命题“xy＝0”的否定是________．
解析 方法1：记命题p1：x＝0，p2：y＝0，则命题xy＝0即命题p1∨p2，其否定是(非p1)且(非p2)，非p1：x≠0，非p2：y≠0，故命题xy＝0的否定是“x≠0且y≠0”．
方法2：xy＝0的否定即xy≠0，即“x≠0且y≠0”．
答案 x≠0且y≠0
9．已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式
(x－1)2>m的解集为R.若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是________．
解析 由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，即m<，由不等式(x－1)2>m的解集为R，得m<0.要保证命题“p∨q”为真，命题“p且q”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m<.
答案 0≤m<
10．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵对任意x∈R，p(x)是真命题．
∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a＞1.
答案 a＞1
11．命题“对任意x>1，x2>1”的否定是________．
解析：这是一个全称命题，其否定是“存在x0>1，使得x≤1”．
答案：存在x0>1，使得x≤1
12．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 由“任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，
可知命题“任意x∈R，x2－5x＋a＞0”必为真命题，
即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图像恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为.
答案
三、解答题
13．设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．
解析 p为真命题?f′(x)＝3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立?a≥3x2在[－1,1]上恒成立?a≥3.
q为真命题?Δ＝a2－4≥0恒成立?a≤－2或a≥2.
由题意p和q有且只有一个是真命题．
p真q假??a∈?；
p假q真??a≤－2或2≤a<3.
综上所述：a∈(－∞，－2]∪[2,3)．
14．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)存在一个三角形是正三角形；
(2)至少存在一个实数x0使x－2x0－3＝0成立；
(3)正数的对数不全是正数．
解析 (1)任意的三角形都不是正三角形，假命题；
(2)对任意实数x都有x2－2x－3≠0，假命题；
(3)正数的对数都是正数，假命题．
15．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
解析 由已知得：p，q中有且仅有一个为真，一个为假．
命题p为真?
命题q为真?Δ<0?1
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