A级 基础达标演练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列各式中对x∈R都成立的是( )． [ZXXK]
A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析 A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2＋1≥ 2x，故B不正确．
答案 C
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )．
A．a，b都不能被5整除
B．a，b都能被5整除
C．a，b中有一个不能被5整除
D．a，b中有一个能被5整除
解析 由反证法的定义得，反设即否定结论．
答案 A
3下列命题中的假命题是( )．
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数
解析 a＋b为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
答案 D
4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )．
A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定
解析 ∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．
又∵an＋1－an＝4(n≥1)，
∴{an}是等差数列．
答案 B
5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋( )．
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，
当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是______________________________________________．
解析 用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．
答案 三角形的三个内角都大于60°
7．要证明“＋＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．
①反证法，②分析法，③综合法．
答案 ②
8．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．
解析 要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．
答案 3
三、解答题(共23分)
9．(11分)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明 ∵a＋b＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋
＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时等号成立．
10．(12分)已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
证明 a⊥b?a·b＝0，
要证≤.
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
B级 综合创新备选
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )．
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析 ∵≥≥，
又f(x)＝x在R上是减函数．
∴f≤f()≤f.
答案 A
2．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
①1]( )．
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]
答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析 首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.
要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案 a≥0，b≥0且a≠b
4．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．
解析 ①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或x?平面y.
又∵x?平面y，故x∥y成立．[Z#X#X#K]
②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．
③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．
④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．
⑤x，y，z均为直线，x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立．
答案 ①③④
三、解答题(共22分)
5．(10分)若a、b、c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg(abc)，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
6．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－2＜b＜－1.
(1)证明 ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
(2)解 假设＜c，又＞0，
由0＜x＜c时，f(x)＞0，
知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴＞c.
(3)证明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a＞0，c＞0，∴b＜－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝＜＝x2＝，
即－＜.又a＞0，
∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.
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