2014届高三数学精品复习之导数的定义及几何意义 1．叫函数在处的导数，记作 。 注：①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+， ）的割线斜率。④导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（，）处的切线的斜率。⑤若极限不存在，则称函数在点处不可导。⑥如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导；此时对于每一个∈，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若，则等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵，即=2=-1。 [举例2] 已知为正整数设，证明 解析：本题可以对展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： = = = =。 [巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为： ，试用导数的定义求t =3时的速度。 [巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划. 如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ） A．2 B．8 C．10 D．16 2．常用导数公式：,,，； 导数的运算法则：若函数与的导数存在，则, ，； （这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）； 复合函数的导数：由与=得到复合函数，则=.。 [举例1]已知，则= 。 解析：是常数，∴=3+2-1= -2 ∴，故=3。 [举例2]，= 。 解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（k= n）；这里，我们观察 ①，不难发现其通项求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得： ，令=1得： = [巩固1] 已知．令，则= 。 [巩固2]已知函数，则的值为： A． B． C． D．[] 3．函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点，处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。 [举例1]曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （07高考海南理10） 解析：，则]曲线在点处的切线斜率为：， ∴切线方程为：，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-）； ∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：，选D。 [举例2]函数的图象在点P处的切线方程是：，若点P的横坐标为5， 则= 。 解析：本题没有函数表达式，但有切线方程，注意到“切点在切线上”， ∴P（5，3）；又“切点在曲线上”，∴；而曲线在点P处的切线斜率为， 即=-1，故=2。 [举例3]已知直线与抛物线相切，则 解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0， 从而求出的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P（，），，则有：  （切点在切线上）①； （切点在曲线上）② =1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：。 [巩固1]已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．（07高考湖北文13） [巩固2]点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、 B、 C、 D、 [巩固3]若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a=___________ 4、注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”； 前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。 [举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程 解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1,但O点未必是切点。 设切点A（x0,y0）∵y’=3x2－6x+1, ∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0 ① [] 又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0 ② 由①②得：x0 =0或x0 =，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0 点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为。若M（x1，y1）是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为，因点M上此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。 当点M是对称中心即= -=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。 [巩固] 曲线上过点的切线方程是 ． 答案 1．[巩固1] ，[巩固2]A，2、[巩固1] ；[巩固2]B； 3、[巩固1] 3，[巩固2]B，[巩固3]1或；4、[巩固]，或 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)
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