2014届高三数学精品复习之等差、等比数列 1．公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{
}中，
=

+
（
为公差，
∈
），
（
∈
）。证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an-an-1=常数(
=常数) （
，也可以证明连续三项成等差（比）数列。 [举例] {
}、{
}都是各项为正的数列，对任意的
，都有
、
、
成等差数列，
、
、
成等比数列.试问{
}是否为等差数列，为什么？ 解析：由
=

得
=

，于是
=

（
，又2
=
+
， ∴2
=

+

（
，即2
=
+
（
，∴数列{
}是等差数列。[学|科|网] 注意：当用定义证明等差（比）数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“
=

”到“
=

（
”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。 [巩固]已知等差数列
的前
项和为
，且
，则过两点
、
的直线的斜率为： (A)4 (B)3 (C) 2 (D)1 [迁移]公差非零的等差数列
中，前n项之和为
，则数列
…
…中  A．不存在等于零的项 B．最多有一项等于零   C．最多有2项等于零 D．可有2项以上等于零 2. 等差数列{an}中，m+n=p+q，则am+an=ap+aq，等比数列{an}中，m+n=p+q，则aman=ap·aq（m、n、p、q
∈
）；等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。 [举例1]在等差数列
中，
为常数，则其前（ ）项和也为常数 （A）6 （B）7 （C）11 （D）12 解析：等差数列
的前k项和为常数即
为常数，而
=3
为常数， ∴2
=
为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为
=
=
，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和（转化为a1+an）”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n项和”联系起来。 [举例2]等比数列{
}中，a4+a6=3，则a5（a3+2a5+a7）= 解析：a5（a3+2a5+a7）=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6) 2=9 [巩固] 在正项的等差数列{
}和正项的等比数列{
}中，有
，
，试比较
与
的大小。 [迁移] 等比数列{
}中，
、
是方程
（
）的两根，则
= 若把条件中的“
”换成“
”呢？若把条件中的“
、
”换成“
、
” 呢？ [提高] 在等差数列
中，前n项之和为
,已知S5=25,Sn=64,Sn-5=9,则 n=_____ 3．等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列。 [举例1]在等比数列
中，S2 =40，S4 =60，则S6等于 ( ) A 10 B 70 C 80 D 90 解析：在等比数列
中，第一个两项和为40，第二个两项和为20（注意：S4是前4项和，不是两项和），则第三个两项和为10，S6为三个两项和相加，选B。 [举例2] 在等差数列
中，前n项之和为
,已知S3=4，S18-S15=12，则S18= 解析：在等差数列
中，第一个三项和为4，第六个三项和为12，S18即首项为4，末项为12的等差数列的6项和，为48。 [巩固]在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,已知S5=2-b,S10=4-b,则S15=_________ 4. 等差数列当首项a1>0且公差d<0，前n项和存在最大值。利用不等式组：
确定n值，即可求得Sn的最大值。等差数列当首项a1<0且公差d>0时，前n项和存在最小值。 类似地确定n值，即可求得sn的最小值；也可视sn为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象来求。 [举例] 设等差数列
满足3 a8=5a13，且a1>0，则
的前__________项和最大 解析：思路一：由3 a8=5a13得：d=
a1,若前n项和最大，则
， 又a1>0得：
，∴n=20,即
的前20项和最大。这一做法最通行。 思路二：Sn=na1+
n(n-1)d=na1-
n(n-1)a1=-
a1(n2-40n),当且仅当n=20时Sn最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由3 a8=5a13得15a8=25a13,即S15=S25,又∵a1>0， ∴Sn的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为n=20，故n=20时Sn最大。这一做法中几乎没有运算，但设计太过“精妙”，非对等差数列的性质融会贯通而不能为，仅供欣赏。 [巩固] 数列
是等差数列，
是其前n项和，且S5＜S6，S6=S7>S8，则下列结论错误的是：A.d ＜0 B.a7=0 C.S9>S5 D. S6 ,S7均为
的最大值 （ ） [迁移] 在等差数列
则在前n项和Sn中最大的负数为[Z。xx。k.Com] A．S16 B．S17 C．S18 D．S19 （ ）
5.注意：等比数列求和公式是一个分段函数 na1 (q=1) Sn=
则涉及到等比数列求和时若公比不是具体数值须分类讨论解题。 [举例]已知等比数列
的公比为q，前n项和为Sn，且S3 ，S9 ，S6 成等差数列，求q3的值。 解析：不可直接用等比数列的求和公式，需讨论：若q=1，S3=3a1 ，S9=9a1，S6=6a1,则有： 18a1=3a1+6a1, 则a1=0, 与
是等比数列矛盾，∴q≠1，于是有：
，化简得：
，∴
。 本题还可以用：第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决，留读者自己完成。 [巩固]已知an=1+r+r2+r3+…rn-1，则数列
的前n项和
=______________ 6.解等差（比）数列有关通项、求和问题时别忘了“基本元”，即把问题转化为首项a1，公差d（或公比q）的方程（组）或不等式（组）去处理。已知等差或等比数列中的任两项也可用 am-an=(m-n)d，或
=qm-n。 [举例1] 等差数列
的前n项和Sn，若S3=9，S13=26求S23的值。 解析：用求和公式解方程组，求出a1,d,再代入求和公式中求S23，这是通法。也可简化为： S3=3a2=9
a2=3，S13=13a7=26
a7=2, ∴a12= 1(a2、a7、a12成等差数列)，S23=23a12=23。 [举例2]已知等差数列{an}中，a3与a5的等差中项等于2，又a4与a6的等比中项等于6，则a10等于 (A) 54 (B) 50 (C) 26 (D) 16 解析：a3与a5的等差中项等于2，即a4=2；a4与a6的等比中项等于6，即a6=18；于是2d=16, a10= a6+4d=50,选B。 [巩固]]已知等差数列｛an｝的首项a1=120，公差d=－4，若Sn≤an(n>1)，则n的最小值为 （A）61 （B）62 （C）63 （D）70 [迁移]等差数列{an}中若am=n，an=m且m≠n求证：am+n=0； [.Com] 简答 1. [巩固]C，[迁移]视Sn为关于n的二次函数，其图象是经过原点的抛物线上的点，故选B，2. [巩固]
=
=
≥
=
， [迁移]等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同；-
，
，±
， [提高] Sn-Sn-5=an+an-1+an-2+an-3+an-4=55,与a1+a2+a3+a4+a5=25两式相加得5（a1+an）=80,得n=8，3.[巩固]6； 4. [巩固] C, [迁移]B，5. [举例]-
，[巩固]

6. [巩固]B， 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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