2014届高三数学精品复习之定比分点、平移、正余弦定理 1．若
，则称点
分有向线段
所成的比为λ。注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当
为外分点时λ为负，内分点时λ为正，
为中点时λ=1，若起点
(x1,y1)，终点
(x2,y2)，则分点
(x0,y0)的坐标为：x0=
,y0=
。由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），则⊿ABC的重心G（
，
）。 [举例1]设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，
，若
，则λ的去值范围是： A．
≤λ≤1 B．1-
≤λ≤1 C．
≤λ≤1+
D．1-
≤λ≤1+
解析：思路一：




，即P分有向线段
所成的比为
，由定比分点坐标公式得：P（1-λ，λ）,于是有
=（1-λ，λ），
=(-1,1),
=（λ，-λ），
=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ)
2λ2-4λ+1≤0
1-
≤λ≤1+
。思路二：记P(x,y)，由
得： (x-1,y)=(-λ, λ)
x=1-λ,y=λ即P（1-λ，λ），以下同“思路一”。 思路三：
=(-1,1)，
=（-λ，λ），
=（λ，-λ），
=
=（1-λ，λ），
=
=（λ-1，1-λ），以下同 “思路一”。 [举例2]已知⊿ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。 解析：记G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=
,y=
,于是有：x0=3x+1,y0=3y， 而A点在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，∴（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：
。 [巩固]已知P是曲线C：y=xn(n∈N﹡)上异于原点的任意一点，过P的切线
分别交X轴，Y轴于Q、R两点，且
，求n的值。 [迁移]已知
是定义在R上的单调函数，实数
，

，若
，则 （ ） A．
B．
C．
D．
2.关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量
(m,n)平移得到点M‘(x+m,y+n)；曲线C：f(x,y)=0按向量
(m,n)平移得到曲线 C/：f(x-m,y-n)=0。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。[注意]：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。 [举例] 将直线x-by+1=0按向量
=（1，-1）平移后与圆x2-4x+y2+3=0相切，则k= 。 解析：思路一：直线
：x-by+1=0按向量
平移即“向右、向下各平移1个单位”，亦即：x变为x-1，y变为y+1，得直线
：x-by-b=0，圆：(x-2)2+ y2=1, 直线
与圆相切，则有：
得b=
。思路二：圆M：(x-2)2+ y2=1按向量-
平移（x变成x+1,y变成y-1）后得：圆M/：(x-1)2+(y-1)2=1, 圆M/与直线
：x-by+1=0相切，有
得b=
。 思路三：圆心M（2，0）按向量-
平移后得M/（1，1），M/到直线
的距离为1。 [巩固1]已知点A（1，2）、B（4，2），向量
按
=（1，3）平移后所得向量的坐标为（ ） （A）（3，0） （B）（4，3） （C）（-4，-3） （D）（-4，3） [巩固2]若把一个函数的图象按
=（－
，－2）平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象的函数解析式为 ： A．y=cos(x+
)－2； B．y=cos(x－
)－2； C．y=cos(x+
)+2； D．y=cos(x－
)+2 [迁移]已知函数f(x)= -
sinxcosx+3cos2x-
,x∈R （1） 将f(x)表示成Asin(2x+
)+B的形式（其中A>0,0<
<2
） （2） 将y=f(x)的图象按向量
平移后，所得到的图象关于原点对称，求使|
| 得最小的向量
。 3．三角形内的三角函数问题中，既涉及到边又涉及到角时，往往需要进行边角转换，正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的齐次式，可以直接用正弦定理转换；而对a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理转换。 [举例1] ⊿ABC的三内角的正弦值的比为4：5：6，则三角形的最大角为 。 解析：由正弦定理得：⊿ABC三边的比为4：5：6，不妨设a=4k,b=5k,c=6k,(k>0) 则边c所对的角C为最大角，cosC=
,∴C=arccos
。 [举例2]在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=6c2,则
的值为 解析：对
“切化弦”得：
，再由正弦定理得
，再对cosC使用余弦定理得：
，将a2+b2=6c2,代入接得原式等于
。 [巩固1] 若△ABC三边成等差数列，则B的范围是 ；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是 ； [巩固2]若三角形三边a、b、c满足a2+c2=b2+ac，且a:c=
:2，求角C的大小。 [迁移]已知⊿ABC中，sinA(sinB+
cocB)=
sinC,BC=3,则⊿ABC的周长的取值范围是 。 4．关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。 [举例] △ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=1200，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是： 。 解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC ∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC 的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知： BC=21，在由正弦定理知：2R=
=14
，∴OA=7
得：PO=7。 [巩固]已知⊙O的半径为R，若它的内接△ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(
a-b)sinB,求（1）∠C的大小；（2）△ABC的面积的最大值。 [迁移]直线
：
过点
，若可行域
的外接圆直径为
，则实数
的值是______________ 5．正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。 [举例1]已知⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为
,则
的最大值为： A.2
B.
C. 2 D.4 解析：
=
，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=
① 而条件中的 “高”容易联想到面积，
[Z.X.X. K] 即
②，将②代入①得：
∴
=2（cosA+sinA）=2
sin(A+
)，当A=
时取得最大值2
，故选A。 [举例2] 如图，已知A、B、C是一条直路上的三点， AB与BC各等于1千米，从三点分别遥望塔M，在 A处看见塔在北偏东450方向，在B处看见塔在正 东方向，在C处看见塔在南偏东600方向，求塔到 直路ABC的最短距离。 解析：已知AB=BC=1，∠AMB=450，∠CMB=300，∴∠CMA=750 易见⊿MBC与⊿MBA面积相等，∴AM
450= CM
300 即CM=
AM，记AM=
，则CM=

，在⊿MAC中，AC=2，由余弦定理得： 4=3
2-2

2cos750，∴
2=
,记M到AC的距离为
，则

2sin750=2
得
=
，∴塔到直路ABC的最短距离为
。 [巩固1] 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积. [巩固2] 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向20
的海面B处有一艘走私船正以
的速度向北偏东300的方向逃窜，缉私艇以

的速度沿 的方向追击，才能最快截获走私船？若
=40
，则追击时间至少为 分钟。 简答 1、[巩固]3；[迁移]A；2、，[巩固1] A，[巩固2] “倒行逆施”：函数y=cosx的图象按-
=（
，2）平移，选D ；[迁移]（1）
，（2）
3．[巩固1] （0，

（0，

；[巩固2]450； [迁移]先求A=
，再用正弦定理求出：b+c= 6sin(B+
)∈
,于是a+b+c∈(6,9
,也可以用余弦定理；4、[巩固] （1）450，（2）
；[迁移]3或5； 5、[巩固1] 设
， 当
时，
有最大值
.[巩固2] 北偏东600，10； 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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