2014届高三数学精品复习之多面体与球 1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心
三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心
三侧面与底面所成的二面角相等；垂心
相对的棱垂直。正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直
顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心
三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。 [举例1] 已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心， 即三棱锥S－ABC为正三棱锥。记SO=h（h< a），则AO=
， 于是有：AB=
,记三棱锥S－ABC体积为f(h)，则f(h)=
， f /(h)=
，∴fmax(h)=
=
. [举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. 解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O是底面的内心，又底面是等边三角形，故O是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S－ABC中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O到底面三边的距离相等，但这不意味着O是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。 [巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为： （ ） A． 8 B．10 C．20 D．30 [巩固2]对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC
AD ②若AB=CD，AC=BD，则
③若AB
AC，BD
CD，则BC
AD ④若AB
CD，BD
AC，则BC
AD 其中真命题的序号是 。（写出所有真命题的序号） 2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2； [举例]已知锐角
、
、
满足：cos2
+ cos2
+ cos2
=1,则tan
tan
tan
的最小值为 。 解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos2
+ cos2
+ cos2
=1联想到锐角
、
、
是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,则tan
tan
tan
=
≥
=
，当且仅当a=b=c时，等号成立。 [巩固]已知空间三平面
、
、
两两垂直，直线
与平面
、
所成的角都是300，则直线
与平面
所成的角是 。 3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。 [举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的： （ ） A．
B．
C．
D．
解析：如图，以A1B和B1C的端点为顶点的四面体是 三棱锥A1-BB1C，将原平行六面体视为四棱柱 ADD1A1-BCC1B1，易见三棱锥的底面积是四棱柱 的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是 四棱柱的体积的
，选A。 [举例2] 如图3-1是一个直三棱柱（以
为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为
．已知
，
，
，
，
．求此几何体的体积．（07高考江西理20） 解析：过
作截面
面
，分别 交
,
于
,
．如图3-2， 原几何体可视为四棱锥B-ACC2A2 与三棱柱A1B1C1-A2BC2的组合体。 作
于
，则BH是四棱锥 的高，
，

=1；故所求几何体体积为
。 [巩固1]在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，求平面C1AB1把棱柱分成两部分的体积的比。
[巩固2] 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是 边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形， EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
4．解决多面体表面上两点间距离最小值的问题，常运用侧面展开法，转化为平面图形两点间距离处理。（多面体展开时要注意各种不同的展开方式）。 [举例] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=
，BB1=2，∠ABC=900，E、F分别为AA1、   
    
    
    
    
 C1B1的中点，求沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度。 解析：题中E、F分别在AA1、C1B1上，所以“展开”后的图形中必须有AA1、C1B1；故“展开”方式有以下四种： （ⅰ）沿CC1将面ACC1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图4-1，求得：EF2=
；（ⅱ）沿BB1将面ABB1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图4-2，求得：EF2=
； （ⅲ）沿A1B1将面ABB1A1和面A1B1C1展开至同一平面，如图4-3，求得：EF2=
； （ⅳ）沿A1C1将面ACC1A1和面A1C1B1展开至同一平面，如图4-4，求得：EF2=
； 可见EF的最小值为
。 [巩固]在正三棱锥S-ABC中，SA=1，∠ASB=300，过点A作三棱锥的截面AMN，求截面AMN周长的最小值. 5．平面截球所得到的截面是圆，圆心与球心的连线垂直于截面；截面圆的半径、圆心与球心的连线段、球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的“核心”图形。 [举例]如图，已知A，B，C是表面积为48
的球面上的 三点，AB=2，BC=4，∠ABC=600，O为球心，则二面角O-AB-C 的大小为： （ ） A．
B．
C．arccos
D．arccos
解析：球的半径为
；⊿ABC为直角三角形，斜边BC是其外接圆的直径，记BC的中点为O1，则OO1⊥面ABC，在Rt⊿OO1B中，OB=
， BO1=2，∴OO1=
；取AB中点D，连OD、O1D，则AB⊥OD，AB⊥O1D， ∴∠ODO1是二面角O-AB-C的平面角，在Rt⊿ABC中O1D=
AC=
故在Rt⊿OO1D中，OD=
,cos∠ODO1=
,∴∠ODO1= arccos
,选D。 [巩固]过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为 。 6．求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。 [举例1] 三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AC=
，则该三棱锥的外接球的体积是 。 解析：思路一：“找球心”（到三棱锥 四个顶点距离相等等的点）。 注意到PC是Rt⊿PAC和Rt⊿PBC的 公共的斜边，记它的中点为O， 则OA=OB=OP=OC=
PC=1，即该三棱锥 的外接球球心为O，半径为1，故它的体积为：
方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径。 [举例2]正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上， 若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为
，则 这个球的表面积为 。 解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上， 记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R-4，或OO1=4-R（此时O 在PO1的延长线上），在Rt⊿AO1O中，R2=8+(R-4)2得R=3，∴球的表面积S=36
[巩固1] 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6
、4
和3
，那么它的外接球的体积是 。 [巩固2]一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （07高考陕西理6） （A）
(B)
(C)
(D)
[迁移]点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是 。 7．球面上两点间的球面距离是“球心角”（两点与球心的连线段的夹角）的弧度数与球的半径的积。 [举例] 设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是
，且二面角B-OA-C的大小为
，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是： （A）
（B）
（C）
（D）
解析：∵球O的半径是1，A到B、C两点的球面 距离都是
，∴∠AOB=∠AOC=
，∴∠BOC就是 二面角B-OA-C的平面角，∴∠BOC =
，故B、C 两点间的球面距离为
；从A点沿球面经B、C两点 再回到A点的最短距离即A、B、C两两间的球面距离之和，故选C。 注：本题容易误以为所求的“最短距离”是⊿ABC的外接圆的周长；读者不妨求求该周长，倒是很好的锻炼（先求⊿ABC的三边的长，再用正弦定理）。 [巩固] 顶点在同一球面上的正四棱柱
中，
，则
两点间的球面距离为（ ）（07高考福建理8） A．
B．
C．
D．
8．球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径，球的外切正方体的边长是球的直径，与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径为
a；边长为a的正四面体的内切球的半径为
（正四面体高的
），外接球的半径为
。 [举例]已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面为
，则O到平面
的距离为 。 解析：记棱锥A-BCD的高为AO1，O在AO1上且OO1=
AO1；AO1与面
交于M，则 MO1=
AO1，故MO= OO1=
AO1=
[巩固] 半径为1的球面上的四点
是正四面体的顶点，则
与
两点间的球面距离为 （ ） （07高考安徽理8） A．
B．
C．
D．
答案 1．[巩固1]P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，
=
∴
=10，故选B；[巩固2]①④；2、[巩固]450；3、[巩固1]1：2；[巩固2]B；4、[巩固]
； 5、[巩固]3：16；6、[巩固1]
，[巩固2]C， [迁移] 设三条弦长分别为x,2x,y,则：x2+(2x)2+y2=4,用椭圆的参数方程求3x+y的最大值为
；7、[巩固] B；8、[巩固] C 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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