2014届高三数学精品复习之函数概念、图象、性质 1.一条曲线是函数图象的必要条件是：图象与平行于y轴的直线至多只有一个交点。一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域须一一对应，反应在图象上平行于X轴的直线与图象至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗？（是的,任何函数在它的一个单调区间内总有反函数）； [举例]函数f(x)=x2-tx+2在[1,2]上有反函数，则t的一切可取值的范围是______ 解析：对于“连续”函数而言，函数有反函数即单调；f(x)=x2-tx+2在[1,2]上单调即区间 [1,2]在对称轴x=
的一侧，∴
≥2或
≤1，即]t≤2或t≥4。 2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，即要求出原函数的值域。求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程。注意：x=f-1(y)一定是唯一的。 [举例] 函数
的反函数为 （A）
（B）
（C）
（D）
解析：∵
，∴
=1+
>1（关注分离常数），∴
∈（0，+
） 又由
得
=
，不难解出
，
互换后得
（互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换）故选B。 3.原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图象关于y=x对称；若函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，a
A,b
C,f [f-1(b)]=b; f-1[f(a)]=a [举例1] 已知函数
的反函数
的图象的对称中心是（0，2），则a=____ 解析：原函数
是有反比例函数（奇函数）平移而来，其图象关于（a,0）对称，∴它的反函数
的图象应关于（0，a）对称，即a=2 [举例2]已知f(x)=x2+2x+3,(x>-1),则f-1(3)= 。 解析：此题不宜求反函数（麻烦），注意到3是反函数y=f-1(x)的自变量，就是原函数y=f(x)的函数值，令x2+2x+3=3，得x=0或x=-2,又 x>-1，∴x=0，此即反函数的函数值f-1(3)（原函数的自变量）。 [迁移]已知f(x)=2sinxcosx+2
cos2x-
,x
[
,
],求f-1(1)的值。 4.奇函数对定义域内的任意x满足f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意x满足f(-x)-f(x)=0;注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于 x的恒等式而不是方程。若函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)定义域必关于原点对称；反之，函数定义域不关于原点对称，该函数既非奇函数也非偶函数。若f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)=0；反之不然。 [举例]函数f(x)= loga|x-b|是偶函数的充要条件为 解析：思路一：函数f(x)=loga|x-b|是由偶函数y=loga|x|平移所得，∴函数f(x)=loga|x-b|的图象关于直线x=b对称，而它自身又是偶函数，图象又关于y轴(x=0)对称，∴b=0。 思路二：f(x)=loga|x-b|是偶函数则loga|-x-b|= loga|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立，∴b=0。 [巩固] 设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,g(x)=
是奇函数,那么a+b的值为（ ） A.1 B.-1 C.-
D.
5. 偶函数图象关于y轴对称，推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=f(a+x)
函数f(x)的图象关于x=a对称，再推广： 函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a+x)=f(b-x)，
f(x)的图象关于x=
对称。奇函数图象关于原点对称,关推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)
函数f(x)的图象关于（a,0）对称。注意：两个函数图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称曲线是函数y=f(2a-x)的图象，函数y=f(x)的图象关于点（ a ，0）的对称曲线是函数y=-f(2a-x)的图象。， [举例1] 若函数y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图象关于 对称 解析：思路一：y=f(x-1)是偶函数，其图象关于y轴对称，向左平移1个单位后得到函数y=f(x)的图象，对称轴也随之平移至x=-1，即函数y=f(x)的图象关于x=-1对称； 思路二：y=f(x-1)是偶函数，则有f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数y=f(x)的图象关于x=-1对称。 [举例2]若函数f(x)=(x-a)3满足f(1+x)=-f(1-x),则f(2)= . 解析：由f(1+x)=-f(1-x)知，函数y=f(x)的图象关于（1，0）对称，事实上函数f(x)=(x-a)3的图象关于（a，0）对称，∴a=1，于是f(x)=(x-1)3，f(2)=1。 [巩固]函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象 A.关于y轴对称 B.关于直线x=a对称 C.关于点M（a，0）对称 D. 关于点M（-a，0）对称 6. 若函数f(x)满足：f(x+a)= f(x-a), 则f(x)是以2a为周期的函数。注意：不要和对称性相混淆。若函数f(x)满足：f(a+x)=-f(x)(a≠0)，则f(x)是以2a为周期的函数。类似的条件还有
等。 [举例]已知函数
满足
，且当
时，
，则
与
的图象的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5 解析：由
知函数
的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1; 当x>5时，f(x)=1∈[0，1]， log5x>1,
与
的图象不再有交点，故选C。 [巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则f(
)= . 7.判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数单调性的“同增异减”法则），研究三次或三次以上的多项式函数的单调性多用导数；证明函数单调性只能用定义或导数，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会证明：函数
的单调性。了解单调性定义的变形：对区间[a,b]内的任意x,y都有
，则函数f(x)在[a,b]递增（小于0则递减）。 [举例1]证明函数
在（0，

上递减，在

，
）上递增。 解析：记
=
，思路一：用定义证明，任取0<
<
≤
,
)=
-
+
-
=(
-
)(1-
),∵0<
<
≤
,∴
,
>1, ∴(
-
)(1-
)>0,即
),∴函数
在（0，

上递减. 在

，
）上递增的证明留给读者自己完成。思路二：用导数，
=1-
， 若
∈（0，

，则
≥1，
=1-
≤0，∴函数
在（0，

上递减. [举例2]函数
在区间（0，3）上单调递减，则a的取值范围为[学#科#网] A．a≥10 B．10)个单位，则方程（表达式）中的y(x)应变为y-m(x-m); 曲线（函数图象）横（纵）坐标变为原来的n倍，则方程（表达式）中的x(y)应变为
(
)。对称（翻折）变换，如函数y=f(-x)的图象是由y=f(x)的图象沿y轴翻折得到，y=-f(x)的图象是由y=f(x)的图象沿x轴翻折得到, y=|f(x)| 的图象是由y=f(x)的图象保留x轴上方的部分并翻折x轴下方的部分得到，y=f(|x|)是由y=f(x)的图象保留y轴右侧的部分，擦去左侧部分并将右侧的部分沿y轴翻折得到。记住两个函数图象：y=|x-a|的图象是“V字形”，“尖顶”是（a,0）；
的图象是由一个反比例函数平移（分离常数）而来。 [举例]奇函数y=f(x) (x≠0 ) ,当x∈(0,+∞)时，f (x)=x－1 ，则函数f(x-1)的图象是（ ）








A B C D 解析：函数y=f(x)的图象为C图，将y=f(x)的图象向右平移1个单位即得到函数f(x-1)的图象，故选D。 [巩固] 函数f(x)=sin2x+2cos2x的图象向右平移m个单位后为偶函数，则最小正数m的值为___________ [迁移]使得函数y=x2+a|x|有四个单调区间的a的取值范围 。 简答 4. [巩固]D； 5. [巩固]A，6. [巩固]
， 7. [迁移]
，当a>b时在（
）上递减，∴
≤-1，即a>b≥1; 若变为“闭”则a>b>1；8. [巩固]
，[迁移]满足条件的函数图象在y轴的右侧要“拐弯”，即对称轴在y轴的右侧，a<0 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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