2014届高三数学精品复习之空间中的角和距离 1．解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。 2．研究异面直线所成的角通常有两种方法。①通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意] 异面直线所成角的范围是：（00，900]， 如： cos <，>=-,则异面直线 a, b所成的角为 arccos。 [举例] 如图, 已知两个正四棱锥 的高分别为1和2, ，(Ⅰ) 证明:  ; (Ⅱ) 求异面直线AQ与PB所成的角; 解析：(Ⅰ)记AC、BD交于O，连PO、QO， 则PO⊥面ABCD，QO⊥面ABCD，∴P、Q、O 共线，PQ⊥面ABCD； (Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC、PQ交于O， 取OC的中点N，连结PN，BN， ∵，∴，故AQ∥PＮ. ∠BPＮ是异面直线AQ与PB 所成的角（或其补角）.  ∵ ∴ 故异面直线AQ与PB所成的角是． 方法二：“建系”：由题设知，ABCD是正方形， ∴．由（I），平面，故 可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设， 相关各点的坐标分别是，，，， ,于是 注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。 [巩固1]异面直线 a, b所成的角为600，则过空间中一点P与a, b都成300的直线有几条？与a, b都成500的直线有几条？与a, b都成600的直线有几条？与a, b都成700的直线有几条？[变形]过大小为600的二面角外一点P作与它的两个面都成600的直线有几条？ [巩固2 ]设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 3．直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：[00，900]。 [举例1] 在如图3-1所示的几何体中，平面， 平面，，且，是的中点．求与平面所成的角． （07高考浙江理16） 解析：方法一：“找射影”。过M作MF⊥ED于F，连CF， 由CM⊥AB，CM⊥AE得CM⊥面ABDE，故CM⊥ED， ∴ED⊥面CMF，于是有面CED⊥面CMF于CF，过M作MH⊥CF  于H，则MH⊥面CED，∴∠MCH为与平面所成的角； 设，， 在直角梯形中， ，是的中点， 所以，，， 得是直角三角形，其中，∴MF= 在中，CM=MF，∴ ，故与平面所成的角是．  注：“作垂面”是求作点M在面内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M点作平面⊥于，则M在面内的射影M/∈。 方法二：“建系”。如图，以点为坐标原点，以， 分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为 轴，建立直角坐标系，设，则， ，．，． 设向量与平面垂直， 则，，即n·=0 , n·=0,∵，， 得：，，即，由向量夹角公式得：cos< n,>=, 直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以， 故直线与平面所成的角是． 注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB与面所成的角为：arcsin（为面的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。 [举例2]如图3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角。 ] ] 解析：确定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q点的位置，∠CDQ为CD与平面ADMN所成的角，入图3-2；记BC=a,在Rt⊿CQD中，CD=a,只需求出CQ（C到面ADMN的距离）即可，记为h；注意到，不难知道 ⊿AMD中AD边上的高为AN，AN=a,∴=a2；=2a2，M到面ACD的距离为a， ∴h=a,故在Rt⊿CQD中，∠CDQ= arcsin。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步——确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。 方法二：“平移”线段。取AD中点E，连BE，如图3-3，易见：BE∥CD，∴CD与平面ADMN所成的角即BE 与平面ADMN所成的角；不难证明：BN⊥AN，BN⊥AC，∴BN⊥面ADMN，即点B在面ADMN上的射影为N，∠BEN为BE 与平面ADMN所成的角；记BC=a，BN=a，BE=a，在Rt⊿BNE中，∠BEN=arcsin。本题也可以“建系”求，略。 [巩固1]太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成600角的直线有_________条？若太阳光线与地面成60°角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 。 [巩固2] 在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，PA=2BC，点O是AC的中点，OP⊥底面ABC．求直线PA与平面PBC所成角的大小． 4．求二面角的方法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos=（其中S表示平面内的封闭图形C的面积，S/表示C在平面内的射影C/的面积，表示与所成的锐二面角的大小）。二面角的范围（00，1800)。如cos=-，则= arccos（-）=- arccos。 [举例]如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 直角梯形，∠ADC=，AB∥CD，PC⊥面ABCD， PC=AD=DC=AB，E为线段AB的中点。 （1）求证：平面PAC⊥平面PDE； （2）求二面角A-PE-D的大小。 解析：（1）在直角梯形ABCD中，容易知道四边形AECF是 正方形，∴DE⊥AC，又DE⊥PC∴DE⊥面PAC，∴面PDE⊥面PAC；（2）记PC=a， 方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记AC、DE交于O，连PO，PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交线，过A作PO的垂线交PO（的延长线）于F，则AF⊥面PDE，即F是A在面PDE内的射影，又容易证明AE⊥面PEC，则AE⊥PE，于是FE⊥PE，∴∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；在⊿PAO中有面积相等不难算出AF=a，而AE=a，在Rt⊿AFE中，∠ AEF=arcsin。注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其过程概括为：找一垂——找（作）一个面内一点P在另一个面内的射影P/，作二垂——过P（或P/）作二面角棱l的垂线，垂足为Q，连三垂——连P/Q，则l⊥P/Q，于是∠PQ P/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂”是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角 注意到AE⊥PE，记点A在面PDE内的射影为F （无须知道点F的确切位置），连EF，则PE⊥FE，于是 ∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；以下问题化归 到求AF的长度（即A点到面PDE的距离）上。以下 用“等积转换”求AF，计算略。 方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角 注意到DP=DE=a，取PE的中点M，则PE⊥DM， 又容易知道AE⊥PE，取PA的中点N，连NM，则 NM∥AE，∴PE⊥MN，于是∠NMD为二面角A-PE-D 的平面角；以下在⊿DMN中，用余弦定理求∠NMD， 计算略。 方法四：用割补法求。视二面角A-PE-D为二面角A-PE-C 与二面角D-PE-C的差。对二面角A-PE-C， ∵ AE⊥面PEC，∴面AEP⊥面PEC， 即二面角A-PE-C为；对二面角D-PE-C，点C是点D 在面PEC内的射影，取BE的中点M，∵CP=CE=a， ∴PE⊥MC，于是有：PE⊥MD，则∠DMC为二面角D-PE-C的平面角， 在Rt⊿DCM中，∠DMC=arctan,∴二面角A-PE-D的大小为- arctan。 注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。 方法五：用平面的“法向量”求 ∵CP⊥CE, CP⊥CD, CE⊥CD,故可以C为原点， 、、分别为x、y、z轴建立空间 直角坐标系。A（a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0)、 P(0,0,a)，则=(a,0,0),=(a,-a,0),= (0,-a,a) 由此不难求出平面PAE的法向量=（0，1，1）， 平面PAE的法向量=（1，1，1） 则有：cos<,>=,∴二面角A-PE-D的大小为arccos。注：用“法向量”求二面角有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角 未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量 的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。 [巩固] 如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC， BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面CDE与 面CAB所成的锐二面角． 5．求点到面的距离一般有三种办法：①直接法———过“点” 作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的 平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；②等积转换；③法向量: 若平面的法向量为，直线AB与平面交于点A，则点B到平面的距离=。 [举例1] 已知线段AD∥平面，且与平面的距离为4，点B是平面内的动点，且满足AB=5，AD=10，则B、D两点之间的距离 （ ） A．有最大值，无最小值； B．有最小值，无最大值； C．有最大值，最小值； D．有最大值，最小值； 解析：记A、D在面内的射影分别为A1、D1，∵AB=5，AA1=4，∴A1B=3，即B在面内以A1为圆心、3为半径的圆周上，又A1D1=10，故D1B最大为13，最小为7，而DD1=4，于是：由勾股定理得BD最大，最小，选D。 [举例2] 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.求点P到平面ABD1的距离；  解析：方法一：“等积转换”。如果直接研究三棱锥P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求；在DD1上取一点Q，使DD1=4DQ，则PQ∥面ABD1，如图5-1；故=， 记P到面ABD1的距离为h，则Q到面ABD1的距离为h， 由=得：h=； 方法二：以D为原点建系，如图5-2，A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4）， P（0，4，1），不难求出面ABD1的法向量=(1,0,1),=(4,0,-1), h==； 方法3：“补齐”截面ABD1即正方体的对角面ABC1D1，过P作PE⊥BC1于E，如图5-3， ∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD1，∴PE的长度即为点P到平面ABD1的距离，易求PE=。 [巩固1]已知平面∥平面，直线，点，平面、之间的距离为8，则在内到P点的距离为9的点的轨迹是： （ ） A．一个圆 B．两条直线 C．四个点 D．两个点 [巩固2]（1） 正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_____（07高考江苏卷14）。（2）正三棱柱的所有棱长都为，为中点，则点到平面的距离为 （07高考福建理18）． 答案 2、[巩固1] 1、2、3、4，[巩固2]900，3、[巩固1]0或无数、300，[巩固2]方法一：“悬空射影”，方法二：“建系”，方法三：取PC中点D，PA∥OD，去求直线OD与平面PBC所成的角，过O作面PBC的垂面，找射影；arcsin；4、[巩固]方法一：延长DE、BA交于P，CP是二面角的棱，∠DCB是二面角的平面角，∠DCB=450；方法二：“平移“平面。取CD中点F，BD中点G，二面角D-EF-G为所求；方法三：以AB中点为原点“建系“；方法四：用公式：cos=。5、[巩固1]C，[巩固2] ， 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)
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