2014届高三数学精品复习之排列组合及二项式定理 1. 熟悉排列数、组合数的计算公式；了解排列数、组合数的一些性质：①
， 由此可得：
，
，为相应的数列求和创造了条件； ②
；③
，由此得：
； [举例]
=___________ 解析：原式=
；记
，数列{
}的前19项和即为所求。记数列{
}的前
项和为
；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到
=
，
=
=
=
= …=
=1330； [巩固1]设
且
，则
等于 （ ） （A）
（B）
（C）
（D）
[巩固2] 已知
的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n=____ 2．解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件）；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施）；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。 [举例] 设集合I={1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大数，则不同的选择方法共有：（ ）种 A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 解析：本题要完成的事件是：构造集合I的两个非空子集；要求：B中最小的数大于A中的最大数；显然B中的最小数不可能是1，以下分类：① B中的最小数是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，所有可能的情况有：
=8种，此时A只有{1}这1种；集合A、B都确定了，才算完成事件，∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小数是3，B中可以有{3，4，5}中的1个元素、2个元素或3个元素，所有可能的情况有：
=4种，此时A中可以有{1，2}中的有1个元素或2个元素，有
=3种，∴完成事件有4×3=12种方法；③ B中的最小数是4，B中可以有{4，5}中的1个元素或2个元素，所有可能的情况有2种，此时A中可以有{1，2，3}中的有1个元素、2个元素或3个元素，有
=7种，∴完成事件有2×7=14种方法；④ B中的最小数是5，只有{5}这1种，此时A中可以有{1，2，3，4}中的有1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，有
=15种，∴完成事件有1×15=15种方法；故完成事件的方法总数为：8+12+14+15=49，选B。 [巩固]从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)． 3．对“按某种要求将
个元素排到
个位置”的问题，首先要确定研究的“抓手”：抓住元素还是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）优先的原则进行。 [举例] 从5位同学中选派4位同学在星期四到星期日参加公益活动，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，则不同的选派方法共有 种。 解析：本题要完成的事件是：从5个不同的元素中选出4个元素，并按要求排在四个不同的位置。本题不宜抓住元素研究，因为每一个元素都不一定被选到，而每一个位置上都一定要有一个元素，故应该抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，优先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，优先）或除甲乙之外的一个同学，①安排乙：其它位置可任意安排，有[学&科&网]
种，②不安排乙：可以安排其他三位同学，星期日可以安排甲或另外两个同学，星期四、五可任意安排，有
种，故不同的选派方法共有：
+
=78种。 [巩固]四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。（1）恰有两个空盒的放法有 种；（2）甲球只能放入2号或3好盒，而乙球不能放入4号盒的不同放法有 种。 4．解决排列组合问题还要遵循“先选后排”、“正难则反”（即去杂法）等原则； [举例]某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“
”到“
”共
个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“
”或“
”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）（福建文科第12题） Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：直接考虑带有数字“
”或“
”的情况太多，逐一讨论非常麻烦；考虑事件的反面：后四位不带有数字“
”或“
”的，有84个，故“优惠卡”的个数为104-84=
。 [巩固]四位同学乘坐一列有6节车厢的动车组，则他们至少有两人在同一节车厢的的情况共有 种？(用数字作答)． 5．熟悉几个排列组合问题的基本模型：①部分元素“相邻”（捆绑法），②部分元素“不相邻”（用要求“不相邻”的元素插空），③部分元素有顺序（
个元素全排，其中
个元素要求按给定顺序排列的方法数为
=
），④平均分组（
个元素平均分成
组的方法数为
），⑤相同元素分组（用“挡板法”）等。 [举例1]某校安排6个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。 解析：先将6个班分成3组，在将3个组分到3个工厂。6个班分成3组，从每组的人数看有3类：①4，1，1，有
种；②3，2，1，有
种，③2，2，2，有
种； 故不同的安排方法共有：（
+
+
）×
=540种。 [举例2]某文艺小分队到一个敬老院演出，原定6个节目，后应老人们的要求决定增加3个节目，但原来六个节目的顺序不变，且新增的3个既不在开头也不在结尾，则这台演出共有 种不同的演出顺序。 解析：思路一：着眼于“位置”。从9个“位置”中选出6个，安排原来的6个节目，且第1和第9两个位置必须选，而他们的顺序是既定的，无需排列，所以有
种方法，剩下的3个位置安排新增的3个节目，有
种方法；故所有不同的演出顺序有：

=210种。 思路二：在原有6个节目的基础上“插空”。原来6个节目形成7个“空”，但前后两“空”不能安排，共有3类情况：①新增的3个节目互不相邻，有
种方法；②新增的3个节目恰有两个相邻，有
种方法；③新增的3个节目相邻，有5
种方法，故所有不同的演出顺序有：
+
+5
=210种。 [巩固1]记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） （07高考北京理科第5题） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 [巩固2]学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
∈{89，90，91，92，93}（
=1，2，3，4）且满足
，则这四为同学考试成绩所有可能的情况有 种。 [巩固3]现有10个市级“三好生”名额分配给高三八个班级，每班至少1个，则有 种不同的分配方案。 6．“抽象化归”是解决排列组合问题的“太极拳”，“逐一列举”是解决排列组合问题的“撒手锏”；有时，画“树状图”能使“逐一列举”变得更加简明、直观。 [举例1]已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100},B={b1,b2, …,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f( a1)≤f(a2)≤…≤f(a100),这样的映射共有 个。(用符号作答)。 解析：本题直接考虑集合A中每一个元素在B中的象的情况非常困难。注意到集合B中每个元素都有原象，即A中有50“组”元素分别与B中的50个元素对应；现将集合A中的100个元素按原有的顺序分成50组，每组至少一个元素；将集合B中的元素按从小到大的顺序排列为B={b1/,b2/, …,b50/}；∵f( a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，∴A中的“第1组”元素的象为b1/，“第2组”元素的象为b2/，…，“第50组”元素的象为b50/，此处没有排列的问题，即只要A中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而A中元素的分组可视为在由这100个元素所形成的99个“空”中插上49块“挡板”，所以有
种分法，即映射共有
个。 [举例2]一个同心圆形花坛分为两个部分，如右图，中间小圆部分 种植草坪，周围的圆环分成5等份为a1,a2,a3,a4,a5,种植红、黄、 蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的 种植的方法为 种。 解析：本题解法甚多，这里介绍画“树状图”列举法。 在右图中，区域a1种红花，a2种黄花时共有5种不同 的种植方法；而区域a2种蓝花与种黄花情况相同，区 域a1种蓝花、黄花与种红花情况相同；故所有不同的 种植的方法为：3×2×5=30种 [巩固1]显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或 1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显 示，则该显示屏能显示信号的种数共有（ ）种 A．10 B．48 C．60 D．80 [巩固2] 函数f:{1,2,3}
{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有（ ） (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个 7．二项式定理的核心是展开式的通项，Tr+1=
an-rbr(通项是展开式的第r+1项), r=0,1,2…n ，二项展开式共有n+1项。展开式的通项中根式宜用分数指数表示。审题是要注意所求的是“项”还是“第几项”还是“项的系数”。 [举例]
的展开式中常数项为 ．（07高考全国Ⅱ卷理科第13题） 解析：先求
的展开式中常数项以及含x -2的项；
=
由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即
的展开式中常数项为
，含x -2的项为
；∴
的展开式中常数项为
-2
=
[巩固] 若
的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 。 (07高考安徽理科第12题) [迁移]f(x)=(x+1)n，且f ′ (x)展成关于x的多项式后x2的系数为60，则n= （ ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．注意辨析“系数”与“二项式系数”的区别；二项式系数和=2n，其中奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=2n-1，二项式系数先增后减，并关于中间项“对称”，二项展开式中，中间项二项式系数最大；求二项展开式中系数绝对值最大的项，用“夹逼法”。 [举例]若
展开式中奇数二项式系数和为8192，则展开式中系数最大的项为 。 解析：
=8192得
=14，则
，由于
展开式中各项系数正负相间，故先求其展开式中系数绝对值最大的项，记为第
+1项，于是有：
①，
②；由①②解得：4≤
≤5； 又
=5时系数为负，∴
=4，即展开式中系数最大的项为
。 [巩固]若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） （07高考重庆理科第4题） A．10 B．20 C．30 D．120 9.研究多项式的“系数和”一般用“赋值法”。若多项式
=a0+a1x+a2x2+a3x3+……anxn，则展开式中所有项的系数和=f(1)，其中奇数项的系数和=
，偶数项的系数和=
；展开式中的常数项=f(0)。 [举例]设(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7= . 解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0 ① 令x= -1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32 ② 由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16， a1+ a3+ a5+a7= -16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。 [举例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+……+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn，若a1+a2+……＋an-1＝29-n,则正整数n＝____________ 解析：只有（1＋x）n 的展开式中才有含xn 的项，它的系数为1，令x=0得a0=n， 令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+22+23+……+2n=2n+1-2,∴a1+a2+……＋an-1=2n+1-2-1-n ∴2n+1-3-n=29-n得n=4. [巩固1]设
， 则
的值为（ ）（07高考江西文科第5题） Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
[巩固2]已知
，则 (
的值等于 . (安徽文科第12题) [迁移]设
， 则集合
含2 个元素的所有子集的元素总和为 ( ) A 640 B 630 C 320 D 315 答案 1、[巩固1]D；[巩固2] 14或23；2、[巩固]8424 ；3、[巩固]84，96；4、[巩固]936，5、[巩固1] B，[巩固2] 15，[巩固3]问题相当于：将10个相同的球放入8个盒子中，每盒至少一球，用“挡板法”，有
=36种；6、[巩固1]D，[巩固2]D；7、[巩固]7；[迁移]B；8、[巩固] B；9、[巩固1] A；[巩固2]
；[迁移]D。 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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