2014届高三数学精品复习之抛物线及其性质
1.不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈;抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负;抛物线标准方程中的“”表示焦准距。
[举例1] 抛物线的准线方程为,则的值为
(A) (B) (C) (D)
解析:抛物线的标准方程为:,其准线方程为:y= -,∴a=,故选B。
[举例2]若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为 :
(A) (B) (C) (D)
解析:抛物线y2=2bx的焦点为F(,0),∵F将线段F1F2分成5∶3的两段,
∴(+c):(c -)=5∶3c=2be=,选D。
[巩固1]点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( )
(A)y=12x2 (B)y=x2或y=-x2 (C)y=-36x2 (D)y=12x2或y=-36x2
[巩固2] 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为
A. B. C. D.
2.涉及到抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题常用定义;有时,抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。
[举例1]已知A(3,1),抛物线上一点P(x,y),则|PA|+y的最小值为 。
解析:抛物线的准线为:y= -1,焦点F(0,1),记P在直线y= -1上的射影为Q,
则y=|PQ|-1=|PF|-1,|PA|+y=|PA|+|PF|-1,问题转化为:求|PA|+|PF|的最小值,易见:
|PA|+|PF|≥|AF|=3,当且既当F、P、A共线时等号成立,故:|PA|+y的最小值为2。
[举例2]已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1,F2,
抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个
公共点,若=e,则e的值为:
A. B. C. D.
解析:记抛物线的准线交x轴于M,P在上的射影
为Q,则|F1M|=|F1F2|=2c,即的方程为x= -3c,|PF2|=|PQ|,又
=e,即=e,∵F1是椭圆的左焦点,∴|PQ|为P到椭圆左准线的距离,即
为椭圆的左准线,于是有:-3c= -e=,选A。
[巩固1] 一动圆圆心在抛物线上,过点(0 , 1)且与定直线相切,则的方程为( )
A. B. C. D.
[巩固2] 椭圆C1:的左准线为,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线C2的准线也为,焦点为F2,记C1与C2的一个交点为P,则= ( )
A. B.1 C.2 D.与a,b的取值有关
3.过抛物线y2=2px的焦点直线与抛物线y2=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,记住并会证明:,,|AB|=(其中为弦AB的倾角,=900时的弦AB即为抛物线的通经),证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形,可设直线方程为:x=my+(其中m为AB的斜率的倒数);抛物线焦点弦问题常用定义,如:以焦点弦为直径的圆与准线相切。
[举例1]抛物线y2=2px上弦长为a(a≥2p)的弦的中点到y轴的距离的最小值为: 。
解析:抛物线的准线的方程为:x= -,焦点F(,0),记弦的两端点为A、B,AB的中点为M,它们在上的射影分别是A1,B1,M1;于是有:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
M到y轴的距离d=|MM1|-=(|AA1|+|BB1|)-=(|AF|+|BF|)-≥|AB|-
=,当且仅当A,B,F共线时等号成立。注:过焦点的弦最短是通经,长为2p,当
a<2p时,A,B,F不可能共线。
[举例2] 给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1,则与夹角为 ;
解析:抛物线的焦点为F(1,0),直线的方程为:x=y+1;将其代入抛物线方程得:y2-4y-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=4,y1y2= -4,又x1=y12, x2=y22,∴x1 x2=(y1 y2)2=1.
=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.
=,∴cos<>=故与夹角为-arccos.
注:在研究形如y2=2px的抛物线与直线的有关问题时,设直线方程为x=my+b的形式,不仅可以简化计算,有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。
[巩固1]AB是抛物线的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是( )
A.2 B. C. D.
[巩固2]过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点,且⊿OAB(O为坐标原点)的面积为,则m6+m4=
4.直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点,方程组就有几组解;直线与圆锥曲线相切体现为:在解方程组的过程中,“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根,即⊿=0;抛物线的切线还可以用导数研究(视抛物线方程为二次函数)。
[举例1]设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是:( )
A.[-,] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:Q(-2,0),显然直线 斜率存在,记为k,则的方程为:y=k(x+2),代入抛物线方程得:k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,①当k=0时,方程有解;②当k≠0时,⊿=64(1-k2)≥0即
-1≤k<0或00 ①,x1+x2=k ②, x1x2= -b ③,又y1=x12,y2=x22
∴y1y2=b2;而 x1x2+ y1y2=0,得:-b+ b2=0且b≠0,∴b=1,代入①验证,满足;故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2;设△AOB的重心为G(x,y),则x== ④,
y== ⑤,由④⑤两式消去参数k得: G的轨迹方程为。
注:上述求轨迹的方法称为“参数法”,一般先设法将动点坐标用“参数”表示,再消参数。
[举例2]过椭圆的右焦点F2并垂直于x轴
的直线与椭圆的一个交点为B,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差
数列,则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是 。
解析:对|F2A|+|F2C|=使用焦半径公式得:5-x1+5-x2=x1+x2=8.此后,可以设AC的中垂线方程,代入椭圆方程,使用韦达定理;也可以用“点差”:记AC中点M(4,y0), 将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得:
,∴,于是有:AC的中垂线的方程为:
,当x=0时:=-,此即AC的中垂线在y轴上的截距,注意到:M(4,y0)在椭圆“内”,∴,得-<<,∴-<-<。
[巩固1]已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是 .
[巩固2]过抛物线上一定点P()()作两条直线分别交抛物线于A(),B(),若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,则= 。
答案
1、[巩固1] B,[巩固2]D;2、[巩固1]C,[巩固2]C,3、[巩固1]C,[巩固2]2;
4、[巩固1] ,[巩固2]D,[迁移](-,);5、[巩固1]32,[巩固2]“点差”得:
,,由PA,PB倾斜角互补知即故
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