2014届高三数学精品复习之数列综合 1. 遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用
使用这个结论的程序是：写出Sn的表达式，再“后退”一步（降标）得Sn-1的表达式，作差；得an的表达式。注意：n≥2的要求切不可疏忽！若Sn的表达式无法写出，亦可将an表示成Sn-Sn-1，得到一个关于Sn的递推关系后，进一步求解。 [举例1] 数列
的前n项和
=an+b,(a
0, 且a
1),则数列
成等比数列的充要条件是__________ 解析：降标得：
=an-1+b, (n≥2),作差得：an=an- an-1= an-1(a-1), (n≥2) 再“升标”得：an+1= an(a-1)；∴
，(n≥2)，∴数列
成等比数列的充要条件是：
，即
b= –1。 [举例2]数列
中，a1=1，Sn为数列{
}的前n项和，n≥2时
=3Sn，则Sn= 。 解析：思路一：同[举例1]得：an –an-1=3an (n≥3)

(n≥3) ∴数列
从第二项开始成等比数列（注意：不是从第三项开始），又a2=3（a1+a2）得a2=
,∴n≥2时
= a2qn-2=(
)(
)n-2(这个地方极容易出错)，即
=
∴Sn=

=
，注意到n=1和n≥2可以统一，∴Sn=
。（冗长烦琐，步步荆棘！）思路二：要求的不是
而是Sn，可以考虑在
=3Sn中用Sn-Sn-1代换
（体现的是“消元”的思想，思路一是加减消元，消去Sn；思路二是代入消元，消去
）得：Sn-Sn-1=3Sn， （n≥2），即
，（n≥2），又S1=1，∴Sn =
。 [巩固1]数列{an}的前n项和
，数列{bn}满足：
. （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。 [巩固2]等差数列
的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列
的第二项、第三项、第四项 （1） 求数列
与
的通项公式； （2） 设数列
对任意整数n都有
成立, 求c1+c2+…+c2007的值. 2.形如：
+
的递推数列，求通项时先“移项”得
=
后，再用叠加（消项）法；形如：
的递推数列，求通项用连乘（约项）法；形如：an+1= qan+p (a1=a，p、q为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项（在递推的过程中把握规律）或用待定系数法构造等比数列（公比为q）；形如：
（
为常数）的递推数列求通项，先“取倒数”，可得数列{
}是等差数列（公差为
）。 [举例]①已知数列?an?满足a1=1,an+1=an+2n-1,则a10 ； 解析：an+1-an=2n-1，分别取n=1，2，…9，叠加得：a10-a1=（2+22+…+29）-9=210-11
a10=210-10. ②若数列?an?满足a1=
，
（n≥2）, 则an= ； 解析：“取倒数”得：
（n≥2），记数列{
+
}为等比数列，且公比为2， （
为常数），则
+
=2（
+
）

（n≥2），可见
=-1，而
-1=2 ∴
-1=2n,
=2n+1, an=
。注：（ⅰ）
有时能够看、猜、试出来，未必非要“待定系数”。（ⅱ）数列{
+
}为等比数列，其首项是
+
而不是a1，同样，通项是
+
而不是an，这是很容易出错的一个地方。（ⅲ）若递推关系变为an+1= qan+pn,则
也相应变为
pn，其他做法不变。 ③已知数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=an+1且a2=2， 则an 。 解析：“降标”得a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=an，（n≥2） 作差得(n+1)an=an+1（n≥2）

（n≥2）分别取n=2，3，…，n-1, 连乘得：
，又a2=2得an=n! （n≥2）而a1=a2,∴an=
。 [提高]某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟采用分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，若商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),则该顾客每月付款的数额为______ 3. 应掌握数列求和的常用方法：应用公式（必须要记住几个常见数列的前n项和）、折项分组（几个数列的和、差）、裂项相消（“裂”成某个数列的相邻两项差后叠加）、错位相减（适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列）、倒序相加等，要根据不同数列的特点合理选择求和方法（其中最重要、最常见的是裂项）。 [举例]①数列
中，若
，数列
满足
，则数列
的前
项和为 。 解析：求
的过程请读者自己完成。


=
， ∴数列
的前
项和为：
。一般地：通项为分式的数列求和多用“裂项”，“裂项”是“通分”的逆运算，可以先“裂开”再回头通分“凑”系数。 ②已知
=
，Sn为数列{
}的前n项和，
=nSn，求数列{
}的前n项和Tn； 解析：Sn=
-2

=n×
-2n, Tn=1×22+2×23+3×24+…+ n×
-2（1+2+3+…+n） (视数列{
}的前n项和为两个数列的前n项和的差，此即“分组求和”)记： Rn=1×22+2×23+3×24+…+ n×
，求Rn用“错位相减”法： - Rn=2n+2-4-n×2n+2=-(n-1) 2n+2-4,∴Rn=(n-1) 2n+2+4
Tn=(n-1) 2n+2+4-n(n+1)。 注：“错位相减”法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。“相减”后的n+1项中，“掐头去尾”中间的n-1项成等比数列。 ③
= 解析：S=
=
用“倒序相加”：得2S=
=n2n, ∴S=n2n-1 。 [巩固]设数列
是公差不为零的等差数列，其前
项之和为
，已知
与
的等比中项为
，且
与
的等差中项为1。(1)求数列
的通项公式； (2)若数列
的前项之和为
，其中
，问是否存在实数M，使得
对任意正整数
都成立？若存在，试求出实数M的范围；若不存在，试说明理由。 4.与数列相关的不等式问题多用“放缩法”或数列的单调性解决。 [举例1]在数列
中，已知
，
， （Ⅰ）证明数列{
-1}是等比数列，并求数列
的通项公式； （Ⅱ）求证：
解析：（Ⅰ）留给读者自己完成（参看第2条[举例]②），
；（Ⅱ）
（
≥2） ∴
=2+
<2+1-
<3. [巩固] 已知在数列
的前n和为Sn ,且对一切正整数n都有Sn=n2+
an, （Ⅰ）求证：an+1+ an=4n+2; （Ⅱ）求数列
的通项公式； （Ⅲ）是否存在实数a，使不等式
对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。 5．在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推关系），然后再求通项。 [举例] 从盛满729升纯酒精的容器里倒出a升，然后用水填满，再倒出a升混合溶液，用水填满，这样继续进行，一共倒了6次，这时容器里还含有64升纯酒精，则a的值为 . 解析：记：倒了n次后容器里还含有an升纯酒精,则
a

=
， 数列
为等比数列，公比为
，a1=729-a,∴

64×7295=(729-a ) 6,
2×35=729-a
a=343。 [巩固]在占地3250亩的荒山上建造森林公园,2000年春季植树100亩,以后每年春季植树面积都比上一年多植树50亩,直到荒山全部绿化为止. (1) 到哪一年春季才能将荒山全部绿化完? (2) 如果新植树木的每亩木材量为2m3,树木每年自然增长率为20%,到全部绿化完的那年春季,该森林公园的木材总量是多少?(精确到1m3,1.29≈1.56) 简答 1. [巩固1]bn=2n-1+2,Tn=2n+2n-1,[巩固2] (1)an=2n-1,bn=3n-1,(2)32007, 2. [提高]记每次还款x万元，则第一次还款后尚欠商场1.008-x万元, 第二次还款后尚欠商场(1.008-x)1.008-x=1.0082-1.008x-x万元,…, 第12次还款后尚欠商场1.00812-1.00811x-1.00810x-…-1.008x-x=0,得x=
, 3. [巩固]an=
,对数列{bn}“裂项”求得
=
） （
）max=
=
∴M≥
；4.，[巩固] （Ⅱ）an=2n， （Ⅲ）记
=
去证
递增，
>(
)max=
=
得a>
或-

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