2014届高三数学精品复习之双曲线及其性质 1．方程
表示双曲线


<0， 双曲线的焦点位置取决于
,
的正负：若
>0,
<0，双曲线的标准方程是：
，a2=
,b2=-
,焦点在x轴上；若
<0,
>0，双曲线的标准方程是：
，a2=
,b2=-
，焦点在y轴上。 [举例]已知
是常数，若双曲线
的焦距与
的取值无关，则
的取值范围是： （ ） A．-2<
≤2 B．
>5 C．-2<
≤0 D．0≤
<2 解析：方程表示双曲线
(
-5)(2-|
|)<0
-2<
≤0或0<
<2或
>5；当-2<
≤0时，方程为：
，a2=2+
，b2=5-
，则c2=7与
无关；当0<
<2时，方程为：
， a2=2-
，b2=5-
，则c2=7-2
与
有关；当
>5时，方程为：
，a2=
-5，b2=
-2，则c2=2
-7，与
有关；故选C。 [巩固1]若
表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是 。 [巩固2]双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则
A．
B．
C．
D．
2．双曲线
关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是双曲线上一点，则|x|≥a, y∈R，双曲线的焦准距为
，双曲线的通经（过焦点且垂直于实轴的弦）长为2
； 过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。等轴双曲线的离心率为
，渐近线方程为
；反比例函数
的图象是一个经过旋转的等轴双曲线，渐近线为两坐标轴，对称轴为直线
。 [举例1] 双曲线
的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为 O、F、A、H，当|HF|≥
|AF|时，
的最大值为 。 解析：|HF|=
，|AF|=c-a,∴
≥
(c-a)

≥

c≤2a
e≤2
=
=e-
,记f(e)= e-
,函数f(e)在（1，2
上递增，∴f(e)≤f(2)=
. [举例2]已知函数
的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为 ． 解析：双曲线
的实轴所在的直线为y=x，实轴与双曲线的交点即顶点为A1（1，1）和 A2（-1，-1），2a=|A1A2|=2
,此即“定长”。注：我们可以再由等轴双曲线的性质得：c=2, 进而得该双曲线的焦点坐标为（-
，-
），（
，
）。 [巩固1] 双曲线
的右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且
=0，那么双曲线的离心率为 （ ） A．
B．
C．2 D．
[巩固2] 过双曲线2x2-y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有 条。 [迁移]已知双曲线
的实轴A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1 B1B2内的射影恰好是该双曲线左顶点A1，则直线B1F与平面A1 B1B2所成角的正切值为 。 3.熟悉双曲线的渐近线的几何特征（无限接近双曲线但与双曲线不相交）和代数特征（渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”）；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切（体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程）。已知渐近线方程为：
，则双曲线方程为：
，其中
是待定的参数（渐近线不能唯一地确定双曲线）。双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b。 [举例1]双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率为： A．
B．
C．
D．
（ ） 解析：双曲线
的渐近线方程为：
即y =±
x，（
≥0） ∴
=
，双曲线方程为：
，离心率为
，选B。 [举例2]已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A）
（B）
（C）
（D）
解析：根据双曲线的图形特点知，双曲线渐近线的倾角大于或等于600时，过焦点且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，于是有
≥

c2-a2≥3a2,得e≥2。 [巩固1]与双曲线
有共同渐近线，且过
的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：（ ） A．
B．
C．
D．
[巩固2]曲线C：x2-y2=1,(x≤0) 上一点P（a,b）到它的一条斜率为正的渐近线的距离为它的离心率，则a+b的值是 ；曲线C的左焦点为F，M（x,y）(y≤0) 是曲线C上的动点，则直线MF的倾角的范围是 . [迁移]曲线C：
与直线y=kx+1有两个不同的公共点，则k的取值范围是 。 4．研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。 [举例1]已知向量
=(
,
),
=(
,-
)，双曲线
·
=1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|= A．
B．
C．
D．
或
解析：双曲线方程为：
，左支上的点到右焦点F(7,0)的距离的最小值为12， ∴M是双曲线右支上的点，记左焦点为F/，则|MF/|-|MF|=2a，即|MF/|=21，在⊿MFF/中，ON中位线，∴|ON|=
，故选C。注：本题中，若将M到F(7,0)的距离换为13，将有两种情况（M可能在双曲线的右支上，也可能在左支上）。
[举例2] 设双曲线
（a，b＞0）两焦点 为F1、、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过 焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M 点轨迹是（ ） A．椭圆的一部分； B．双曲线的一部分； C．抛物线的一部分； D．圆的一部分 解析：不妨设Q在双曲线的右支，延长F2M交QF1于P， 在⊿QF1F2中，QM既是角平分线又是高，故|QP|=|QF2|， 又|QF1|-|QF2|=2a，∴|QF1|-|QP|=2a即|PF1|=2a，在⊿PF1F2中，MO是中位线，∴|MO|=a, ∴M点轨迹是圆的一部分，选D。 [巩固1]已知点P在双曲线的左支上， 点M在其右准线上，F1是双曲线的左焦点，且满足：
，
=
，则此双曲线的离心率为 。 [巩固2]F1，F2分别为双曲线
（
>0,
>0）左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若
最小值为8
，则双曲线的离心率e的取值范围是 。 [迁移]P是双曲线
的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还经常用到正、余弦定理。 [举例1] 双曲线
的两焦点为F1、、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2
，则⊿P F1F2的面积为 （ ） A．
B．1 C．2 D．4 解析：不妨设F1、、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|=2
① |PF1|+|PF2|=2
②，由①②解得：|PF1|=
+
，|PF2|=
-
，得： |PF1|2+|PF2|2=4
+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，选B。 [举例2]等轴双曲线x2-y2=a2,(a>0)上有一点P到中心的距离为3，那么点P到双曲线两个焦点的距离之积等于 。 解析：由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”得： 2（|PF1|2+|PF2|2）=36+4c2,又c2=2 a2，得|PF1|2+|PF2|2=18+4 a2 ①，而||PF1|-|PF2||=2 a ② 由 ①-②2得：|PF1||PF2|=9。 [巩固1] 已知椭圆
与双曲线
（
>0,
>0）具有相同的焦点F1，F2，设两曲线的一个交点为Q，∠QF1F2=900，则双曲线的离心率为 。 [巩固2] 双曲线
两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为
则△PF1F2面积为： A．16
B．32
C．32 D．42 [提高] 设双曲线
（a，b＞0）两焦点为F1、、F2，点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，则⊿PF1F2的内心的横坐标为 （ ） A．a B．c C．
D．与P点的位置有关 答案 1、[巩固1]（1，+
），[巩固2]A；2、[巩固1]A，[巩固2] 3，[迁移]
；3、[巩固1] C， [巩固2] -
，（
∪{0}，[迁移] （-
，-1）；4、[巩固1]2，[巩固2]（1，3]，[迁移]D；5、[巩固1]
，[巩固2] A，[提高]记△PF1F2的内切圆圆心为C，边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D，易见C、D横坐标相等，|PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|，由|PF1|-|PF2|=2a，即：|PM|+|MF1|-(|PN|+|NF2|)=2a,得|MF1|-|NF2|=2a 即|F1D|-|F2D|=2a，记C的横坐标为x0,则D（x0,0）,于是：x0+c-（c- x0）=2a ,得x0=a，故选A。 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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