单元评估检测(三) 第三章 (120分钟　150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若sin 2θ<0,则角θ是( ) (A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角 (C)第三或第四象限角 (D)第二或第四象限角 2.下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=对称的函数是( ) (A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x-) (C)y=2sin(+) (D)y=2sin(2x-) 3.(2013·榆林模拟)若函数f(x)=sinωx+cosωx,x∈R,又f(α)=-2, f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则正数ω的值为( ) (A) (B) (C) (D) 4.(2012·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC=( ) (A) (B)- (C)± (D) 5.(2013·汉中模拟)若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则sin2α+2cos2α的值是( ) (A)- (B)- (C)-2 (D) 6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式为( )  (A)f(x)=sin(2x+) (B)f(x)=sin(x+) (C)f(x)=sin(x-) (D)f(x)=sin(2x-) 7.(2013·南昌模拟)已知cos(-α)=,则sin2(α-)-cos(+α)的值是( ) (A) (B)- (C) (D) 8.在△ABC中,若cosAcosB=sin2,则△ABC是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)直角三角形 9.已知△ABC中,b=,c=2,sinC+cosC=,则角B等于( ) (A)　　(B)　　(C)　　(D) 10.已知函数f(x)=asinx+bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最小值,则函数y=f(-x)( ) (A)是偶函数且它的图像关于点(π,0)对称 (B)是偶函数且它的图像关于点(,0)对称 (C)是奇函数且它的图像关于点(,0)对称 (D)是奇函数且它的图像关于点(π,0)对称 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.(2013·淮北模拟)在△ABC中,若sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且满足ab=4,则该三角形的面积为　　　　. 12.(2012·陕西高考)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=,c=2,则b=　　　　. 13.(2013·合肥模拟)已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2α的值为　　　　　. 14.(2013·黄冈模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像如图所示,则f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(2012)=　　　　. 15.(能力挑战题)给出下列命题: ①若函数y=f(2x-1)为偶函数,则y=f(2x)的图像关于x=对称; ②把函数y=3sin(2x+)的图像向右平移个单位得到y=3sin 2x的图像; ③函数y=2cos(2x+)的图像关于点(,0)对称; ④函数y=sin|x|是周期函数,且周期为2π; ⑤△ABC中,若sinA,sinB,sinC成等差数列,则B∈(0,]. 其中所有真命题的序号是　　　　　. 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)已知向量a=(1,sinx),b=(cos(2x+),sinx),函数f(x)=a·b-cos 2x. (1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间. (2)当x∈[0,]时,求函数f(x)的值域. 17.(12分)已知sin(2α-β)=,sinβ=-,且α∈(,π),β∈(-,0),求sinα的值. 18.(12分)(2013·宿州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c-a)cosB-bcosA=0. (1)若b=7,a+c=13,求此三角形的面积. (2)求sinA+sin(C-)的取值范围. 19.(12分)(2013·赣州模拟)已知函数f(x)=2sin·cos-2sin2. (1)若x∈[0,π],求f(x)的值域. (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA的值. 20.(13分)(2013·马鞍山模拟)如图,AB是底部B不可到达的一个塔型建筑物,A为塔的最高点.现需在对岸测出塔高AB,甲、乙两同学各提出了一种测量方法,甲同学的方法是:选与塔底B在同一水平面内的一条基线CD,使C,D,B三点不在同一条直线上,测出∠DCB及∠CDB的大小(分别用α,β表示测得的数据),以及C,D间的距离(用s表示测得的数据),另外需在点C测得塔顶A的仰角(用θ表示测得的数据),就可以求得塔高AB.乙同学的方法是:选一条水平基线EF,使E,F,B三点在同一条直线上.在E,F处分别测得塔顶A的仰角(分别用α,β表示测得的数据)以及E,F间的距离(用s表示测得的数据),就可以求得塔高AB. 请从甲或乙的想法中选出一种测量方法,写出你的选择并按如下要求完成测量计算:①画出测量示意图;②用所叙述的相应字母表示测量数据,画图时C,D,B按顺时针方向标注,E,F按从左到右的方向标注;③求塔高AB.  21.(14分)(能力挑战题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示:  (1)求函数f(x)的解析式并写出其所有的对称中心. (2)若g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4,0)对称,求g(x)的递增区间. 答案解析 1.【解析】选D.由已知得2sinθcosθ<0, 故或 ∴θ为第二或第四象限角. 2.【解析】选B.由T=π可得ω=2, 又关于x=对称,故只有2×-=, 此时,y=2sin(2x-)取得最大值,故只有B满足条件. 3.【解析】选B.f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由条件知α,β分别为函数y=f(x)的最小值点和零点,故|α-β|的最小值为个周期,从而=,所以T= 3π,故ω===. 4.【思路点拨】在△ABC中利用正弦定理和二倍角公式求解. 【解析】选A.由正弦定理知=及8b=5c,C=2B可得cosB=,则cosC= cos 2B=2cos2B-1=2×()2-1=. 5.【解析】选C.由题意知sinα=-2cosα, 故tanα=-2, ∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2(cos2α-sin2α) = = ==-2. 【变式备选】已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-,则tan 2α的值为( ) (A) (B)- (C) (D)- 【解析】选D.由sin(π+α)=-得sinα=,又α为第二象限角, 故cosα=-,所以tanα=-, 而tan 2α====-. 6.【解析】选A.由图像可知A=1,T=-=, 故T=π,故ω==2. 又∵|φ|<,∴当x=时,2x+φ=π, ∴2×+φ=π, ∴φ=π-=, ∴f(x)=sin(2x+) 【变式备选】已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的简图如图,则的值为 ( )  (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.由图像可知T=+=, 故T=π. 又∵T=,∴ω=2. 又∵|φ|<,∴2×(-)+φ=0,∴φ=, ∴==. 7.【思路点拨】运用同角三角函数关系及诱导公式求解. 【解析】选A.由cos(-α)=,得cos(α-)=, sin2(α-)-cos(+α)=1-cos2(α-)-cos[π+(α-)] =1-cos2(α-)+cos(α-)=1-()2+=. 8.【解析】选B.由cosAcosB=sin2=得 2cosAcosB=1-cosC=1+cos(A+B), 即2cosAcosB=1+cosAcosB-sinAsinB 即cosAcosB+sinAsinB=1, 即cos(A-B)=1. 又∵A,B为△ABC的内角, ∴A-B=0,即A=B. 因而△ABC是等腰三角形. 9.【思路点拨】先求出C,再由正弦定理求sinB. 【解析】选A.sinC+cosC=sin(C+)=, ∴sin(C+)=1. 又00)的最小正周期为. (1)求ω的值. (2)若函数y=g(x)的图像是由y=f(x)的图像向右平移个单位得到的,求y=g(x)的单调递增区间. 【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2cos2ωx=sin 2ωx+ cos 2ωx+2 =sin(2ωx+)+2, 依题意得=, 故ω=. (2)依题意得:g(x)=sin[3(x-)+]+2 =sin(3x-)+2, 令2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 故y=g(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 17.【思路点拨】由sin(2α-β),sinβ可得cos(2α-β),cosβ,即求得 cos 2α,再利用倍角公式求sinα,注意角的范围. 【解析】∵<α<π, ∴π<2α<2π. 又-<β<0, ∴0<-β<, ∴π<2α-β<. 而sin(2α-β)=>0, ∴2π<2α-β<, cos(2α-β)=. 又-<β<0且sinβ=-, ∴cosβ=, ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ =×-×(-)=. 又cos 2α=1-2sin2α, ∴sin2α=, 又α∈(,π), ∴sinα=. 18.【解析】由已知及正弦定理得 (2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0, 即2sinCcosB-sin(A+B)=0, 在△ABC中, 由sin(A+B)=sinC,故sinC(2cosB-1)=0, ∵C∈(0,π),∴sinC≠0, ∴2cosB-1=0,即cosB=,所以B=. (1)由b2=a2+c2-2accos=(a+c)2-3ac, 即72=132-3ac得ac=40,[所以△ABC的面积S=acsinB=10. (2)sinA+sin(C-)=sinA+sin(-A) =sinA+cosA=2sin(A+). 又A∈(0,),∴A+∈(,), 则sinA+sin(C-)=2sin(A+)∈(1,2]. 19.【解析】(1)f(x)=sin+cos-1 =2sin(+)-1. ∵x∈[0,π],∴≤+≤, ∴≤sin(+)≤1, ∴f(x)的值域为[0,1]. (2)∵f(C)=2sin(+)-1=1, ∴sin(+)=1. 又∵C∈(0,π),∴C=. 在Rt△ABC中, ∵c2=a2+ac ()2+-1=0 =,或=(舍去), ∴sinA=. 20.【思路点拨】分析条件,由正弦定理解三角形即可. 【解析】选甲:示意图1.  在△BCD中,∠CBD=π-α-β. 由正弦定理得=. 所以BC==. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=. 选乙:示意图2.[  在△AEF中,∠EAF=β-α,由正弦定理得=, 所以AF==. 在Rt△ABF中,AB=AF·sinβ=. 【方法技巧】运用正、余弦定理解应用题的技巧 (1)对于三角应用问题,关键是正确地作出图形,抓住条件与要求问题之间的关系,恰当地选择三角形求解. (2)明确所需要求的边、角,①若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时,可选择正、余弦定理求解;②若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求出其他三角形的解,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列方程(组)求解. 21.【思路点拨】(1)先由图像直接得A,求得周期T进而求得ω,代入点求得φ,这样得解析式后可求得对称中心. (2)利用两函数关于P(4,0)对称,求得g(x)的解析式,再求单调递增区间. 【解析】(1)由图可得,A=,=6-(-2)=8, 所以T=16,ω=, 则此时f(x)=sin(x+φ), 将点(2,)代入,可得φ=. ∴f(x)=sin(x+), 对称中心为(8k-2,0)(k∈Z). (2)由g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4,0)对称,得g(x)=-f(8-x), ∴g(x)=-sin[(8-x)+] =-sin(-x)=sin(x-), 令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),得16k+6≤x≤16k+14(k∈Z),即g(x)的递增区间为[16k+6,16k+14](k∈Z).
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