单元评估检测（五） 第五章 (120分钟　150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列{an}为等差数列,若a2=3,a1+a6=12,则a7+a8+a9=　(　　) (A)27 (B)36 (C)45 (D)63 2.(2013·开封模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,则5a1+a7的值为　 (　　) (A)12 (B)10 (C)24 (D)6 3.(2013·南阳模拟)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若a4=2a3,S4=1,则S8=　(　　) (A)17　　　(B)16　　　(C)15　　　(D)256 4.(2013·吉安模拟)等比数列{an}的公比q>1,
+
=3,a1a4=
,则a3+a4+a5+a6+a7+a8=
　 (　　) (A)64 (B)31 (C)32 (D)63 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N+),则a10=　(　　) (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 6.已知函数f(x)满足f(x+1)=
+f(x),x∈R,且f(1)=
,则数列{f(n)}(n∈N+)的前20项的和为　(　　) (A)305 (B)315 (C)325 (D)335 7.(2013·黄冈模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a9+a15+a17=0,则S21的值是　(　　) (A)1 (B)-1 (C)0 (D)不能确定 8.在等差数列{an}中,a1=-2012,其前n项和为Sn.若
-
=2,则S2012的值等于　 (　　) (A)-2011 (B)-2012 (C)-2010 (D)-2013 9.(2013·宜春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=
+2(n-1)(n∈N+),若S1+
+
+…+
-(n-1)2=2013,则n的值为　(　　) (A)1007 (B)1006 (C)2012 (D)2013 10.(2013·南昌模拟
)已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数y=f(x),若数列{lnf(an)}为等差数列,则称函数f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=
,②f(x)=x2,③f(x)=ex,④f(x)=
, 则为“保比差数列函数”的所有序号为　(　　) (A)①② (B)③④ (C)①②④ (D)②③④ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知数列{an}的前n项和为Sn=(-1)nn,则an=　　　. 12.设{lgan}成等差数列,公差d=lg3,且{lgan}的前三项和为6lg3,则{an}的通项公式为　　　. 13.已知函数f(x)对应关系如表所示,数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则a2013=　　　　. x 1 2 3  f(x) 3 2 1  14.(2013·咸阳模拟)设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+,都有Sn≤Sk成立,则正整数k的值为　　　　　. 15.(能力挑战题)已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=1,对任意x∈R都有f(x+1)=f(x)+2,则
+
+…+
=　　　. 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2013·宝鸡模拟)已知函数f(x)=log2x-x+1(x∈[2,+∞)),数列{an}满足a1=2,
=2(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式an. (2)求f(a1)+f(a2)+…+f(an). 17.(12分)(2013·万州模拟)已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,Sn是其前n项和,且4a1,a5,-2a3成等差数列. (1)求公比q的值. (2)设An=S1+S2+S3+…+Sn,求An. 18.(12分)已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n∈N+). (1)求证:数列{an-1}是等比数列. (2)设bn=
,求证:数列{bn}的前n项和Sn<
. 19.(12分)某牛奶厂2009年初有资金1000万元,由于引进了先进设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金x万元后,剩余资金投入再生产. (1)分别写出这家牛奶厂20
10年初和2011年初投入再生产的剩余资金的表达式. (2)预计2013年底,这家牛奶厂将转向经营,需资金2000万元(该年
底不再扣除下年的消费基金),当消费基金x不超过多少万元时,才能实现转向经营的目标(精确到万元)? 20.(13分)(2012·山东高考)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式. (2)对任意m∈N+,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm. 21.(14分)(能力挑战题)已知数列{an}中a1=2,an+1=2-
,数列{bn}中bn=
,其中n∈N+. (1)求
证:数列{bn}是等差数列. (2)设Sn是数列{
bn}的前n项和,求
+
+…+
. (3)设Tn是数列{(
)n·bn}的前n项和,求证:Tn<
. 答案解析 1.【解析】选C.设公差为d,则a1+d=3,2a1+5d=12,解得a1=1,d=2,所以a7+a8+a9=3a1+21d=3+42=45. 2.【解析】选A.设公差为d,则S3=3a1+3d=6, 即a1+d=2,所以5a1+a7=6a1+6d=12. 3.【解析】选A.∵a4=2a3,S4=1,则q≠1, ∴
∴q=2,a1=
, ∴S8=
=17. 4.【解析】选D.由
+
=3,得
=3, 又a2a3=a1a4=
, 则
解得
则q=2. 所以a3+a4+a5+a6+a7+a8=
=63. 5.【思路点拨】寻找数列的偶数项组成的数列的特点. 【解析】选B.由题an+1·an=2n,an+2·an+1=2n+1,故
=2,又a1=1,可得a2=2,故a10=25=32,选B. 6.【解析】选D.由已知f(x+1)-f(x)=
, 得数列{f(n)}是等差数列,公差为
, 其前20项和为20×
+
×
=335,故选D. 7.【解析】选C.a3+a9+a15+a17=4a11=0,∴a11=0, S21=21a11=0. 8.【解析】选B.∵
-
=2, ∴
-
=2,
故a12-a10=4,∴2d=4,d=2. ∴S2012=2012a1+
=-2012. 9.【解析】选A.∵an=
+2(n-1), ∴Sn=nan-2n(n-1)
　① ∴Sn+1=(n+1)an+1-2(n+1)·n　② 由②-①得: an+1=(n+1)an+1-nan-2n(n+1)+2n(n-1), 化简得:nan+1-nan-4n=0, ∴an+1-an=4, 故数列{an}是以a1=1为首项,d=4为公差的等差数列, an=4n-3. ∵S1+
+
+…+
-(n-1)2=2013, 又∵
=2n-1, ∴1+3+5+…+(2n-1)-(n-1)2=2013, 即
-(n-1)2=2013?
n=1007. 10.【解析】选C.设数列{an}的公比为q. ①中,lnf(an+1)-lnf
(an)=ln
=ln
= -lnq.故①中的函数符合要求; ②中,lnf(an+1
)-lnf(an)=ln
=2lnq,也符合要求; ③中,lnf(an+
1)-lnf(an)=an+1-an,不符合要求; ④中,lnf(an+1)-lnf(an)=l
n
=
lnq,符合要求. 11.【解析】当n≥2时, an=Sn-Sn-1 =(-1)nn-(-1)n-1(n-1) =(-1)n(2n-1), 当n=1时也适合这个公式. 答案：(-1)n(2n-1) 12.【解析】根据等差数列性质可得lga2=2lg3,故数列{lgan}的通项公式是lgan=lga2+(n-2)lg3=nlg3=lg3n, 所以an=3n. 答案：an=3n 13.【思路点拨】解答此类题目应先找规律,即先求a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律. 【解析】由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1, ∴数列{an}是周期为2的数列, ∴a2013=a1=3. 答案：3 14.【解析】方法一:由对任意n∈N+,都有Sn≤Sk成立,Sk是Sn的最大值. 由等差数列的性质,有a1+a7=2a4,a2+a8=2a5, 代入已知条件,得 a4=33,a5=31,则公差d=a5-a4=-2, a1=33-3d=39, ∴Sn=39n+
×(-2) =-n2+40n=-(n-20)2+400, 则当n=20时,Sn有最大值,故k的值为20. 方法二:由题设对任意n∈N+,都有Sn≤Sk成立,求k的值即求Sn最大时的项数n. 由等差数列的性质,有a1+a7=2a4,a2+a8=2a5,代入已知条件,得a4=33,a5=31,则公差d=a5-a4=-2, a1=33-3d=39, ∴an=39-2(n-1)=41-2n. 由
即
解得20.5≥n>19.5, 当n=20时,Sn取得最大值,故k=20. 答案：20 15.【解析】由f(0)=1且f(x+1)=f(x)+2, 得f(n+1)-f(n)=2,f(10)=21, 所以
=
(
-
), 所以
+
+…+
=
(
-
)=
. 答案：
16.【解析】(1)∵a1=2,
=2,∴{an}是公比为2,首项为2的等比数列, ∴an=2×2n-1=2n. (2)由(1)知f(an)=log22n-2n+1=(n+1)-2n, 则f(a1)+f(a2)+…+f(an) =[2+3+…+(n+1)]-(2+22+…+2n) =
-
=
-2n+
1+2 =
n2+
n+2-2n+1. 17.【解析】(1)∵4a1,a5,-2a3成等差数列, ∴2a5=4a1-2a3, ∴2a1q4=4a1-2a1q2, ∴q2=1,又q≠1, ∴q=-1. (2)∵Sn=
=2(1-(-1)n), ∴An=2(1-(-1)1)+2(1-(-1)2)+2(1-(-1)3)+…+2(1-(-1)n) =2(n-
)=2n+1-(-1)n. 18.【解析】(1)由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1). 即
=2, ∴数列{an-1}是公比为2的等比数列. (2)由(1)知{an-1}是公比为2,首项为2的等比数列, 故an-1=2n,∴an=2n+1, ∴bn=
=
=
=
-
∴Sn=(
-
)+(
-
)+… +(
-
)=
-
<
. 【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式 对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化,构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法: (1)递推式为an+1=qan(q为常数):作商构造. (2)递推式为an+1=an+f(n):累加构造. (3)递推式为an+1=pan+q(p,q为常数):待定系数构造. (4)递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数):辅助数列构造. (5)递推式为an+2=pan+1+qan:待定系数构造. 思路:设an+2=pan+1+qan可以变形为:an+2-αan+1=β(an+1-αan),就是an+2=(α+β)an+1-αβan,则可从
解得α,β,于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列,就转化为前面的类型. (6)递推式为an+1=f(n)an(n∈N+):累乘构造. (7)递推式为an-an-1+pan
an-1=0(p为常数):倒数构造. 【变式备选】已知数列{an}满足:
+
+…+
=
(32n-1),n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=log3
,求
+
+…+
.
【解析】(1)
=
(32-1)=3, 当n≥2时, ∵
=(
+
+…+
)-(
+
+…+
) =
(32n-1)-
(32n-2-1)=32n-1, 当n=1时,
=32n-1也成立, ∴数列{an}的通项公式为an=
(n∈N+). (2)bn=log3
=-(2n-1),
=
=
(
-
), ∴
+
+…+
=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)] =
(1-
)=
. 19.【解析】(1)2010年初的剩余资金为1000·
-x; 2011年初的剩余资金为(1000·
-x)·
-x. (2)设从2009年底这家牛奶厂的资金组成数列为{an},则这个数列满足a1=1000·
-x,an+1=
an-x. 设an+1+λ=
(an+λ),展开与an+1=
an-x比较可得λ=-2x,即an+1=
an-x可以变换为an+1-2x=
(an-2x),即数列{an-2x}是首项为1000·
-3x,公比为
的等比数列,所以an-2x=(1000·
-3x)·(
)n-1,即an=2x+(1000·
-3x)·(
)n-1. 从2009年初到2013年底共计5年,所以到2013年底该牛奶厂剩余资金a5=2x+(1000·
-3x)·(
)4,只要a5+x≥2000,即2x+(1000·
-3x)·(
)4+x≥2000即可,解得x≤
≈458.97(万元). 故当消费基金不超过458万元时,才能实现转向经营的目标. 20.【思路点拨】(1)根据等差数列通项的性质求出a4,结合a9求出公差,进而得通项公式.(2)得出关于m,n的不等式,可得{bm}的通项公式,然后求和. 【解析】(1)根据等差数列的性质得a4=28,设等差数列的公差为d,则a9-a4=5d=73-28=45, 所以d=9,所以等差数列的通项公式为an=a4+(n-4)d=28+(n-4)×9=9n-8,即an=9n-8. (2)根据已知得9m<9n-8<92m, 解得

---

【点此下载】