巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·甘肃诊断)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝4x＝4，∴x0＝1，故切点为P(1,1)，所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
答案：A
2．(2013·南宁测试)曲线y＝x3＋3x2＋6x－10，x∈R的切线中，斜率最小的切线方程为( )
A．y＝3x－17 B．y＝3x－11
C．y＝3x＋11 D．y＝6x－10
解析：斜率k＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，k最小时切点为(－1，－14)，此时切线方程为y＝3x－11.
答案：B
3．(2013·桂林调研)设x∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A. B．－
C．ln2 D．－ln2
解析：y＝f′(x)＝ex－ae－x，∵y＝f′(x)为奇函数，
∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f′(x)＝ex－e－x，
由ex－e－x＝，得ex＝2，∴x＝ln2.
答案：C
4．(2013·山西测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2－2ax＋3a2，且在f(x)的图像上点(1，f(1))处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是( )
A．(－1,1) B.
C. D.
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax－2a，∴f′(1)＝3，又f(1)＝1－a＋3a2，∴在点(1，f(1))处的切线为y＝3(x－1)＋1－a＋3a2，则可得3a2－a－2＜0，解得－＜a＜1.
答案：C
5．(2013·河南测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝e－x－ex2＋a，则函数f(x)在x＝1处的切线方程为( )
A．x＋y＝0 B．ex－y＋1－e＝0
C．ex＋y－1－e＝0 D．x－y＝0
解析：由题意f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝e－x－ex2－1，当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－ex＋ex2＋1，此时f′(x)＝－ex＋2ex，f′(1)＝－e＋2e＝e，切点为(1,1)，故切线方程为ex－y＋1－e＝0.
答案：B
6．(2013·德州期末)函数f(x)的图像如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
B．0＜f′(2)＜f′(3)－f(3)＜f(2)
C．0＜f′(3)＜f′(2)－f(3)＜f(2)
D．0＜f(3)＜f(2)－f′(2)＜f′(3)
解析：f′(2)、f′(3)表示曲线在x＝2，x＝3处的切线的斜率，f(3)－f(2)表示(2，f(2))，(3，f(3))两点连线的斜率．根据函数图像知f′(2)＞f(3)－f(2)＞f′(3)＞0.
答案：A
二、填空题
7．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．
解析：y＝x3－x＋3，∴y′＝3x2－1，当x＝1时，k＝2，由点斜式方程得y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
8．(2013·宿州月考)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝__________.
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，即f′(1)＝－2.令x＝0，得f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案：－4
9．(2013·济宁期末)已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2 (x)，…， fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*且n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012＝__________.
解析：f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝sinx－cosx，f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，运算周期为4，四项和为0，故2 012项和为0.
答案：0
三、解答题
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)y′＝2x＋1.
直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2切曲线y＝x2＋x－2于点B(b，b2＋b－2)，
斜率k2＝2b＋1.
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－，
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程得
所以直线l1和l2的交点的坐标为.
又l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、，
所以所求三角形的面积为S＝××|－|＝.
11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)方法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1.
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理，得x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝.
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解之得x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
12．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明函数y＝f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，
所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
而f(x)＝x－1＋＋1，
故函数f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形．
(3)在曲线上任取一点，
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1，得y＝，切线与直线x＝1交点为.
令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)；
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，
从而所围三角形的面积为·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.
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