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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )
A．70元 B．65元
C．60元 D．55元
解析： 设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)
＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
∴当x＝20时，ymax＝9 000，
此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.
答案： A
2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米可由x＝at－4.9t2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上(含245米)高度共有( )
A．4秒 B．5秒
C．6秒 D．7秒
解析： 已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5秒时，x＝245米，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2.子弹保持在245米以上(含245米)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245.解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．
答案： B
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析： 令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案： C
4．“红豆生南国，春来发几枝？”右图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )
A．y＝t3 B．y＝log2t
C．y＝2t D．y＝2t2
解析： 符合指数函数模型，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．
解析： 由题意有，
解得，∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75万件．
答案： 1.75
6．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
解析： 方案甲：x＝3时，y＝10，
方案乙：x＝3时，y＝8，
∵10.2－10<10.2－8
∴方案甲拟合较好．
答案： A
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种畅销产品中选择一种进行投资生产打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)，其中年固定成本与生产件数无关，a为常数，且4≤a≤8，另外年销售乙产品x件时需上交0.05x2万美元的特别关税.
项目类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多生产件数
甲产品
30
a
10
200
乙产品
50
8
18
120
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产件数x(x∈N)的函数关系式；
(2)分别写出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可获得大利润？
解析： 由题意，(1)y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N，
y2＝－0.05x2＋10x－50,0≤x≤120，x∈N.
(2)∵y1在[0,200]上是增函数，
∴y1max＝200(10－a)－30＝1 970－200a.
∵y2＝－0.05(x－100)2＋450，
∴当x＝100时，y2max＝450.
(3)设1 970－200a＝450，得a＝7.6.
∴当4≤a＜7.6时，投资甲产品，
当a＝7.6时，投资甲、乙两种产品都可以，
当7.6＜a≤8时，投资乙产品．
8．溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
解析： (1)根据对数的运算性质，有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1.
在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，[H＋]－1减小，
从而lg[H＋]－1减小，即pH减小．
所以，随着[H＋]的增大，pH减小．
(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg[H＋]＝－lg10－7＝7，所以纯净水的pH是7，酸碱度为中性．
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9．(10分)据调查，某地区300万从事传统农业的农民，人均年收入6 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x>0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为6 000a元(a≥2)．
(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的所有农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民年总收入，试求x的取值范围．
(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这300万农民的人均年收入达到最大．
解析： (1)由题意，得
(300－x)×6 000×(1＋x%)≥300×6 000，
即x2－200x≤0，
解得0≤x≤200.
又x>0，故x∈(0,200]．
(2)设这300万农民的人均年收入为y元，则
y＝×((300－x)×6 000×(1＋x%)＋6 000ax)
＝－0.2x2＋20(a＋2)x＋6 000.
∵a≥2，
∴－＝50(a＋2)≥200，
∴y＝－0.2x2＋20(a＋2)x＋6 000在(0,200]上是增函数，
当x＝200时，ymax＝6 000＋4 000a(万元)．
即有200万人进企业工作，100万农民从事传统农业，能使这300万农民的人均年收入达到最大．
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