3.2 导数的应用（一）
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )．
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析 设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，
由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案 D
2．函数y＝4x2＋的单调增区间为( )．
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
解析 由y＝4x2＋得y′＝8x－，令y′>0，即8x－>0，解得x>，
∴函数y＝4x2＋在上递增．
答案 B
3．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所 示，则( )
A．f(x)在x＝1处取得极小值
B．f(x)在x＝1处取得极大值
C．f(x)是R上的增函数
D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
解析：由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．
答案：C
4．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )．
A．e B．－e C. D．－
解析 设(x0，ln x0)是曲线y＝ln x与直线y＝kx的切点，
由y′＝知y′|x＝x0＝
由已知条件：＝，解得x0＝e，k＝.
答案 C
5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析 f′(x)＝3ax2＋b，由f′＝3a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.
答案 D
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )．
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析 不等式(x－1)f′(x)≥0等价于或
可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案 C
7．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )．
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析 设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0，
则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，
由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1.
答案 B
二、填空题
8．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋x2，则函数f(x)的单调增区间为________．
解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋x2，
所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)·(x＋1)．
令f′(x)>0，即(ex＋1)(x＋1)>0，解得x>－1.
所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
9．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．
答案 2
10．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题意知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
11．函数f(x)＝x(a>0)的单调递减区间是________．
解析 由ax－x2≥0(a>0)解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝＝，由f′(x)<0解得x≥，因此f(x)的单调递减区间是.
答案
12．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________；
若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________．
解析 由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3x.
若f(x)在(2,3)上不单调，则有解得：30，得ex>a，
当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]．
15．已知函数f(x)＝x3－ax－1
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．
解析 (1)f′(x)＝3x2－a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．
(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，
则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立
即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3
函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
解析 (1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，
∴
由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，
∴∴－＜m＜－9.
【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；
第二步：求函数f?x?的导数f′?x?；
第三步：求方程f′?x?＝0的根；
第四步：利用f′?x?＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；
第五步：由f′?x?在小开区间内的正、负值判断f?x?在小开区间内的单调性；
第六步：明确规范表述结论.
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