课时提能演练(十七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·咸阳模拟)tan240°的值是( )
(A)－ (B) (C)－ (D)
2.等于( )
(A)sin2－cos2 (B)cos2－sin2
(C)±(sin2－cos2) (D)sin2＋cos2
3.(2012·九江模拟)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
(A)－ (B) (C)± (D)
4.(预测题)若cos(2π－α)＝，且α∈(－，0)，则sin(π＋α)
＝( )
(A)－ (B)－ (C) (D)
5.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 011)＝3，则f(2 012)的值是( )
(A)－1 (B)－2 (C)－3 (D)1
6.若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则
＝( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题 (每小题6分，共18分)
7.(2012·汉中模拟)若sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则cos(2π－α)的值是 .
8.(2012·西安模拟)已知sin(－x)＝，则cos(－x)＝ .
9.(2012·潮州模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知sin(3π－α)＝cos(＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值.
11.(易错题)化简(n∈Z).
【探究创新】
(16分)东升中学的学生王丫在设计计算函数
f(x)＝＋的值的程序时，发现当sinx和cosx满足方程2y2－(＋1)y＋k＝0时，无论输入任意实数k，f(x)的值都不变，你能说明其中的道理吗？这个定值是多少？
答案解析
1.【解析】选D.因为tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，故答案为D.
2.【解析】选A.原式＝
＝＝|sin2－cos2|，
∵sin2>0，cos2<0，∴原式＝sin2－cos2.
【变式备选】给出下列各函数值：
①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；
④.
其中符号为负的有( )
(A)① (B)② (C)③ (D)④
【解析】选C.sin(－1 000°)＝sin80°>0；
cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；
tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
＝，sin>0，tan<0，
∴>0.
3.【解析】选B.sin(π＋α)＝，∴sinα＝－，
又∵α是第四象限角，∴cosα＝＝，
∴cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα＝.
4.【解析】选C.由已知得cosα＝，又α∈(－，0)，
∴sinα＝－＝－；sin(π＋α)＝－sinα＝.
5.【解析】选C.∵f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asinα－bcosβ＝3.
∴asinα＋bcosβ＝－3，
∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－3.
6.【解题指南】利用方程求出sinα，把所给的式子化简，代入即可求.
【解析】选B.由已知得sinα＝－，
则原式＝＝－＝.
7.【解析】∵sin(π－α)＝log8，
∴sinα＝log8＝－log84＝－，∵α∈(－，0)，
∴cos(2π－α)＝cosα＝＝.
答案：
8. 【解析】cos(－x)＝cos[＋(－x)]
＝－sin(－x)＝－.
答案：－
9.【解题指南】利用三角函数定义求出tanα的值，将原式化简后代入即可.
【解析】∵tanα＝＝－，
∴＝
＝tanα＝－
答案：－
【变式备选】已知＝2，
则tanα＝ .
【解析】由已知得＝2，则5sinα＝cosα，
所以tanα＝.
答案：
10.【解题指南】求α，β的某个三角函数值，再根据范围确定角的大小.
【解析】将所给两式变形可化为sinβ＝sinα ①
cosβ＝cosα ②
则①2＋②2，得cos2α＝，cosα＝±，
∵0<α<π，∴α＝或，
当α＝时，cosβ＝×cos＝×＝.
∵0<β<π，∴β＝.
当α＝π时，cosβ＝·cosπ＝－.
∵0<β<π，∴β＝π.
综上可得：α＝，β＝或α＝π，β＝π
11.【解题指南】本题对n进行讨论.在不同的n值下利用诱导公式进行化简.
【解析】(1)当n＝2k，k∈Z时，
原式＝＝.
(2)当n＝2k＋1，k∈Z时，原式
＝＝－.
【方法技巧】诱导公式中的分类讨论
(1)在利用诱导公式进行化简时经常遇到nπ＋α这种形式的三角函数，因为n没有说明是偶数还是奇数，所以必须把n分奇数和偶数两种类型加以讨论.
(2)有时利用角所在的象限讨论.不同的象限角的三角函数值符号不一样，诱导公式的应用和化简的方式也不一样.
【变式备选】若sinα＝，则cos(π＋α)＋
cos(π－α)(k∈Z)＝ .
【解析】原式＝cos(kπ＋＋α)＋cos(kπ－－α)，
当k为偶数时，原式＝cos(＋α)＋cos(＋α)＝－2sinα＝－，
当k为奇数时，原式＝－cos(＋α)－cos(＋α)＝2sinα＝，故原式＝
±.
答案：±
【探究创新】
【解析】因为f(x)＝＋
＝＋＝＝sinx＋cosx，
又因为sinx，cosx是2y2－(＋1)y＋k＝0的两根，
所以sinx＋cosx＝，
所以f(x)＝sinx＋cosx＝，始终是个定值，与变量无关.这个定值是.
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