巩固双基,提升能力
一、选择题
1．若函数f(x)＝x3－x2＋1，则f(x)( )
A．最大值为1，最小值为
B．最大值为1，无最小值
C．最小值为，无最大值
D．既无最大值，又无最小值
解析：f′(x)＝3x2－3x，易知f(x)在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，且当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，因此f(x)无最大值与最小值．
答案：D
2．函数f(x)＝exsinx在区间上的值域为( )
A．[0，e] B．(0，e)
C．[0，e) D．(0，e]
解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)．
∵x∈，∴f′(x)＞0.
∴f(x)在上为增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.
答案：A
3．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A. B.
C.＋1 D.－1
解析：f′(x)＝＝，
当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当－＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x＝时，令f(x)＝＝，＝＜1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
答案：D
4．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
解析：由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0.
∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1.
∴a＝1.
答案：D
5．(2013·荆州调研)设动直线x＝m与函数f(x)＝x3、g(x)＝lnx的图像分别交于点M、N，则|MN|的最小值为( )
A.(1＋ln3) B.ln3
C．1＋ln3 D．ln3－1
解析：由题意知|MN|＝|x3－lnx|，设h(x)＝x3－lnx，h′(x)＝3x2－，令h′(x)＝0，得x＝，易知当x＝时，h(x)取得最小值，h(x)min＝－ln＝＞0，故|MN|min＝＝(1＋ln3)．
答案：A
6．(2012·课标全国)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln2 B.(1－ln2)
C．1＋ln2 D.(1＋ln2)
解析：显然y＝ex和y＝ln(2x)的图像关于直线y＝x对称，令y′＝ex＝1?x＝ln2.所以y＝ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，到直线y＝x的距离d＝.
所以|PQ|min＝2×＝(1－ln2)，所以选B.
答案：B
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2mx＝x(－3x＋2m)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
∵x∈(0,2)，∴0＜＜2，∴0＜m＜3.
答案：(0,3)
8．用一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形．(如图所示)，则围墙的最大面积是__________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的宽为x，则矩形的长为200－4x.
则面积S＝x(200－4x)＝－4x2＋200x，
S′＝－8x＋200，令S′＝0，得x＝25，故当x＝25时，S取得最大值为2 500(m2)．
答案：2 500 m2
9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为__________元时利润最大，利润的最大值为__________．
解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则
y＝(p－20)Q＝(p－20)(8 300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，
∴y′＝－3p2－300p＋11 700.
令y′＝0得p2＋100p－3 900＝0，
∴p＝30或p＝－130(舍去)，则p，y，y′变化关系如下表：
p
(20,30)
30
(30，＋∞)
y′
＋
0
－
y
极大值
↘
∴当p＝30时，y取极大值为23 000元．
又y＝－p3＋150p2＋11 700p－166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．
∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．
答案：30 23 000
三、解答题
10．(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
解析：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，
h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.
令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.
a＞0时，h(x)与h′(x)的情况如下：
x
－
－
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↘
所以函数h(x)的单调递增区间为和；
单调递减区间为.
当－≥－1，即0＜a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，
h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2.
当－＜－1，且－≥－1，即2＜a≤6时，
函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.
当－＜－1时，即a＞6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，
又因h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2＞0.
所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.
11．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．
解析：由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；
令＋2a＞0，得a＞－.
所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解析：(1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2·l＋πr3，又V＝，
故l＝＝－r＝.
由于l≥2r，因此0＜r≤2.
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c.
因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2.
(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝，0＜r≤2.
由于c＞3，所以c－2＞0，
当r3－＝0时，r＝ .
令 ＝m，则m＞0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
(1)当0＜m＜2，即c＞时，
当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；
当r∈(m,2)时，y′＞0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
(2)当m≥2，即3＜c≤时，
当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2；
当c＞时，建造费用最小时r＝ .
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