课时提能演练(二十一)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.（2012·揭阳模拟）在△ABC中，tanA+tanB+=tanA·tanB，则C等于( )
2.(2012·岳阳模拟)设0 ≤x<2π,且=sinx-cosx,则( )
(A)0≤x≤π (B)
(C) (D)
3.已知cosα=cos(α+β)=-且α、β∈(0,)，则cos(α-β)的值等于
( )
4.(易错题)若tanα=lg(10a),tanβ=lg,且α+β=则实数a的值为( )
（A）1 （B） （C）1或 （D）1或10
5.若θ∈sin2θ=则cosθ-sinθ的值是( )
6.（2012·合肥模拟）已知角α在第一象限且cosα=则=( )
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α=_______.
8.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则tan(α+β)=_______.
9.（2012·大冶模拟）已知：0°＜α＜90°,0°＜α+β＜90°,3sinβ=sin
(2α+β),则tanβ的最大值是_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.已知sin(2α-β)=,sinβ=,且α∈（,π）,β∈（-,0），求
sinα的值.
11.(预测题)已知函数f(x)=(1-tanx)［1+sin(2x+)］，求
(1)函数f(x)的定义域和值域;
(2)写出函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.
【探究创新】
（16分）函数f(x)
(1)若x∈［,］，求函数f(x)的最值及对应的x的值.
(2)若不等式［f(x)-m］2＜1在x∈［,］上恒成立，求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.由题意得，
tanA+tanB=-（1-tanAtanB），
∴
即tan(A+B)=-,
又tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=,
∴C=
2. 【解析】选B.由=sinx-cosx≥0,
可得sinx≥cosx.
又∵0≤x<2π,∴.
3.【解析】选D.∵α∈(0,),∴2α∈(0,π).
∵cosα=∴cos2α=2cos2α-1=
∴sin2α
而α，β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)=
∴cos(α-β)=cos［2α-(α+β)］
=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)
4.【解题指南】利用两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，然后转化成关于lga的一元二次方程求得lga的值进而求出a的值.
【解析】选C.
tan(α+β)=1?=?lg2a+lga=0,
所以lga=0或lga=-1,即a=1或
5.【解析】选C.∵θ∈∴cosθ-sinθ＜0,
∵(sinθ-cosθ)2=1-sin2θ=1
∴cosθ-sinθ=
6.【解析】选C.角α是第一象限角且cosα=
∴sinα=
7. 【解析】tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］
=
答案：-
8.【解题指南】利用根与系数的关系得到tanα＋tanβ，tanα·tanβ的值，代入公式即可.
【解析】由根与系数的关系得tanα+tanβ=3，
tanα·tanβ=-3,∴tan(α+β)=
答案：
9.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)，化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα,
∴tanβ=tan(α+β-α)=
∴tanβ的最大值为
答案：
【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用
(1)三角函数和、差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键，公式可以正用、逆用、变形应用.
(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换出现和或差的形式，出现能逆用公式的条件；有时通过两式平方相加减,利用平方关系式，切函数化成弦函数等技巧.
10.【解题指南】先根据已知条件确定2α－β的范围，求其余弦值，再求β的余弦值，通过变换把2α写成(2α－β)＋β并求其余弦值，最后求sinα.
【解析】∵＜α＜π,∴π＜2α＜2π.
又∵-＜β＜0,∴0＜-β＜.
∴π＜2α-β＜.
而sin(2α-β)=＞0,
∴2π＜2α-β＜,cos(2α-β)=
又∵-＜β＜0且sinβ=∴cosβ=
∴cos2α=cos［(2α-β)+β］
=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ
又
又α∈(,π),∴sinα=
11.【解题指南】利用公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求其性质.
【解析】
f(x)=
=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=2(cos2x-sin2x)=2cos2x.
(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠kπ+,k∈Z},
∵2x≠2kπ+π,k∈Z,∴2cos2x≠-2,∴函数f(x)的值域为(-2,2］.
(2)f (x)的最小正周期为π,
令2kπ-π＜2x≤2kπ(k∈Z),得kπ-＜x≤kπ(k∈Z),
∴函数f(x)的单调递增区间是(kπ-,kπ］(k∈Z).
【变式备选】已知0＜α＜,0＜β＜且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1- tan2,求α+β的值.
【解析】由4tan=1-tan2得
由3sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］,
得3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.
∴tan(α+β)=2tanα.∴tan(α+β)=1.
又∵0＜α＜,0＜β＜,∴0＜α+β＜
∴α+β=.
【探究创新】
【解题指南】（1）先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式.利用x所给范围，求得最值及对应x的值；（2）利用不等式变换转化成函数恒成立问题求解.
【解析】(1)f(x)
∵x∈［,］,∴
当2x时，即x=时，f(x) max=0,
当2x时，即x=时，f(x)min=-
(2)方法一：∵［f(x)-m］2＜1?f(x)-1＜m＜f(x)+1(x∈［,］),
∴m＞f(x)max-1且m＜f(x)min+1,
故m的范围为（-1，）.
方法二：∵［f(x)-m］2＜1?m-1＜f(x)＜m+1,
∴m-1＜-且m+1＞0,故-1＜m＜,
综上m的取值范围是(-1, ).
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