课时提能演练(二十三)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.(2012·湘潭模拟)在△ABC中,AB=,A=45°，C＝75°，则BC等于( )
(A)3- (B) (C)2 (D)3+
2.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边长，若＜0，则△ABC( )
（A）一定是锐角三角形
（B）一定是直角三角形
（C）一定是钝角三角形
（D）是锐角或钝角三角形
3.在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=( )
（A）30°或150°
（B）60°或120°
（C）60°
（D）30°
4.若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是( )
（A）90° （B）120° （C）135° （D）150°
5.(2012·许昌模拟)在△ABC中,A=120°,b=1,面积为,则 =( )
6.(2012·聊城模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.(易错题)锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A,的取值范围是_______.
8.(2012·上饶模拟）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等比数列，且c=2a,则cosB=_______.
9.在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2011·安徽高考）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，求边BC上的高.
11.(预测题)在△ABC中，a,b,c是角A，B，C的对边，且.
(1)求角B的大小；
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
【探究创新】
（16分）已知函数f(x)=cos(2x+)+sin2x
(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期;
(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若c=，cosB=求b.
答案解析
1.【解析】选A.由,得BC＝3-.
2.【解析】选C.由已知及余弦定理得cosC<0，C是钝角，故选C.
3.【解析】选D.由正弦定理得，又因为b>a,故A=30°.
4.【解析】选B.设三边长为5x,7x,8x，最大的角为C，最小的角为A.
由余弦定理得：所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°.
5.【解题指南】先根据三角形的面积公式求出边AB的长,再由余弦定理可得边BC的长,最终根据正弦定理得解.
【解析】选C.∵A=120°,∴sinA=,
S=×1×AB×sinA=,∴AB=4.
根据余弦定理可得,
BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=21,
∴BC=.
根据正弦定理可知:
故选C.
6.【解题指南】由题目中已知等式的形式，利用正、余弦定理求解.
【解析】选A.由及sinC=2sinB,
得c=2b,
∴cosA=
∵A为△ABC的内角，∴A=30°.
7.【解析】锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,C=2A,
∴0<2A<,且<3A<π.
由正弦定理可得=2cosA,
∴即＜＜.
答案：()
8.【解析】∵sinA,sinB,sinC成等比数列，
∴sin2B=sinA·sinC,
由正弦定理得，b2=ac,
由余弦定理得
cosB
答案：
9.【解析】由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°，
∴AC2－2AC＋3＝0.∴AC＝.
∴S△ABC＝AB·ACsin30°＝×2××＝.
答案：
【方法技巧】正、余弦定理求解面积问题
(1)当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长，求三角形的面积时，主要利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，在求解过程中往往利用三角公式进行恒等变形.
（2）当以向量为背景考查正、余弦定理的应用时，关键是把三角形的面积用向量表示出来，用正余弦定理求出边长.
10.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得
1-2cosA=0，cosA=，sinA=，
再由正弦定理，得sinB=
由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜，从而cosB=
由上述结果知
sinC=sin(A+B)= ×(+).
设边BC上的高为h，则有h=bsinC=
【变式备选】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小.
【解析】由题意可知，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，
即
所以cosC＝，所以C＝60°.
11.【解析】(1)由得,
即2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0,
∴2sinAcosB+sin(B+C)=0,sinA(2cosB+1)=0,
又∵0
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