温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
课时提能演练(二十二)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )
(A) (B) (C) (D)
2.（预测题）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小( )
(A) (B)1 (C) (D)2
3.（2011·韶关模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )
(A)海里 (B)海里
(C) 海里 (D)海里
4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为
( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)由增加的长度决定
5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
(A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米
6.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
(A)5海里 (B)海里
(C)10海里 (D)海里
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.（2012·杭州模拟）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为______.
8.（易错题）如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ=______.
9.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，
∠BCD＝135°，则BC的长为______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2012·乌鲁木齐模拟）为了测量河对岸的塔高h,某人沿着河岸从点A走到点B，已知该人手中有一只测角仪，可以测水平面的夹角和铅直平面的仰角.已知AB=m，若要测出塔高，还需要测量哪些角？利用已知和测得的数据如何计算塔高？请你设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；(2)写出计算塔高的步骤（用字母和公式表示即可）.
11.（2012·宁波模拟）如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后,A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米）.
【探究创新】
（16分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=,0°<θ<90°)且与点A相距海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
答案解析
1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
cosα.
【解析】选B.因为tanα=，则sinα=cosα，
代入sin2α+cos2α=1得：cosα=.
2.【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD=200-80x，BE=50x，
∴y2=(200-80x)2+(50x)2
-2×(200-80x)·50x·cos60°，
整理得y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5)，
∴当x=时y2最小，即y最小.
3.【解析】选A.如图所示，
由已知条件可得，
∠CAB=30°，
∠ABC=105°，
AB=40×=20（海里），
∴∠BCA=45°，
∴由正弦定理可得：，
∴BC= (海里）.
4.【解析】选A.设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最长边，其对应角最大.
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.
5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.
【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：
OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).
6.【解析】选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).
7.【解析】由图知直角三角形ABD中AB=20 m，BD=60 m，则AD= m，同理易得AC= m，在△ACD中，cos∠CAD=,得∠CAD= .
答案：
8.【解析】在△ABC中，
BC=
=,
在△BCD中， =
,
又∵cosθ=sin∠BDC，∴cosθ=.
答案：
9.【解析】在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解之得x1＝16，x2＝－6(舍去).
由正弦定理得,
∴BC＝·sin30°＝.
答案：
【方法技巧】三角形中的几何计算问题
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.
10.【解析】
(1)需要测量的角有：∠BAD=α,
∠DBA=β,∠CAD=θ(或∠CBD=θ).
(2)第一步：
在△ADB中,由正弦定理可求出：AD=(或BD=）.
第二步：在Rt△CDA中，可求出：h=AD·tanθ=·tanθ.
（或在Rt△CDB中，h=BD·tanθ=·tanθ).
11.【解析】(1)依题意,有PA=PC=x,
PB=x-1.5×8=x-12.
在△PAB中,AB=20
cos∠PAB=
同理，在△PAC中，AC=50
cos∠PAC=，
cos∠PAB=cos∠PAC，∴
解之，得x=31.
(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，
由cos∠PAD=得sin∠PAD=
∴PD=PAsin∠PAD=31·=≈18.33（千米）.
答：静止目标P到海防警戒线AC的距离约为18.33千米.
【探究创新】
【解析】(1)AB=，AC=，
∠BAC=θ,sinθ=,
由于0°<θ<90°,所以cosθ=.
由余弦定理得：BC=
所以该船的行驶速度为（海里/小时）.
(2)方法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系,
设点B、C的坐标分别是B（x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.
由题设得，
x1=y1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD
=cos(45°-θ)=30,
y2=ACsin∠CAD=
sin(45°-θ)=20.
所以过点B、C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40，即2x-y-40=0
又点E（0，-55）到直线l的距离
d=<7.
所以该船会进入警戒水域.
方法二：设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC= =
,
从而sin∠ABC=.
在△ABQ中，由正弦定理得,
AQ= =40.
由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt△QPE中，PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)= <7.
所以该船会进入警戒水域.
【点此下载】