课时提能演练(二十四)
(40分钟 80分)
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )
2.(预测题)线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小( )
（A） （B）1 （C） （D）2
3.（2012·三明模拟）在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是( )
（A）米 （B）米 （C）200米 （D）200米
4.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
（A）15米 （B）5米 （C）10米 （D）12米
二、填空题（每小题5分，共15分）
5.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_______米.
6.(易错题)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ=_______.
7.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
8.(2012·株洲模拟)如图所示，某观测站C位于城A的南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿着公路向A城走去，走了20千米后，到达了D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
9.(2012·揭阳模拟)某园林公司计划在一块O为圆心，R(R为常数， 单位为米)为半径的半圆形(如图)地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域为观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.
(1)设∠COD＝θ(单位：弧度)，用θ表示弓形CMDC的面积S弓＝f(θ);
(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？求相对应的θ.
【探究创新】
（15分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=,
0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
答案解析
1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
cosα.
【解析】选B.因为tanα=，则sinα=cosα，代入sin2α+cos2α=1得：
cosα=
2.【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD=200-80x，BE=50x，
∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°，
整理得y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5)，
∴当x=时y2最小，即y最小.
3.【解析】选A.设塔高为x米，则由题意得200tan30°=(200-x)tan60°，解得x=.
4.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.
【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：
OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).
5.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，
设塔高为h,
因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则AE
在Rt△AEC中，
CE＝AE·tan30°=(120+60)×=60+40,
所以塔高为60+40+60=(120+40)米.
答案：120+40
6.【解析】在△ABC中，
BC=
在△BCD中，sin∠BDC=
又∵cosθ=sin∠BDC，∴cosθ=-1.
答案：-1
7.【解析】在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解之得x1＝16，x2＝－6(舍去).
由正弦定理得
答案：
【方法技巧】三角形中的几何计算问题
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.
8. 【解析】根据题意得，其中BC＝31千米，BD＝20千米，CD＝21千米，∠CAB＝60°.
设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CDB中，由余弦定理得
cosβ＝
sinβ=.
sinα=sin(180°-∠CAD-∠CDA)
＝sin(180°-60°-180°+β)
=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°
=
在△ACD中，由正弦定理得AD＝·sinα
=
故此人还得走15千米到达A城.
9.【解析】(1),
S弓＝f(θ)=.
(2)设总利润为y元，草皮地利润为y1元，花木地利润为y2元，观赏样板地成本为y3元.
,
∴y=y1+y2-y3
=
＝[3π-(5θ-10sinθ)]
设g(θ)=5θ-10sinθ，θ∈(0,π).
g′(θ)=5-10cosθ，
g′(θ)<0,cosθ>,g(θ)在θ∈(0,)上为减函数；
g′(θ)>0,cosθ<,g(θ)在θ∈(,π)上为增函数.
当θ=时,g(θ)取最小值，此时总利润最大.
答：当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大.
【探究创新】
【解析】(1)AB=40，AC=10，
∠BAC=θ,sinθ=,
由于0°<θ<90°,所以cosθ=
由余弦定理得：
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（2）方法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系,
设点B、C的坐标分别是B（x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.
由题设得，x1=y1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD
=10cos(45°-θ)=30,
y2=ACsin∠CAD
=10sin(45°-θ)=20.
所以过点B、C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40，即2x-y-40=0.
又点E（0，-55）到直线l的距离
所以船会进入警戒水域.
方法二：设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
从而sin∠ABC=
在△ABQ中，由正弦定理得,
由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt△QPE中，PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3<7.
所以船会进入警戒水域.
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