【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：3三角函数
一、选择题
1.（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C．是奇函数D．的单调递增区间是
【答案】D
【解析】因为恒成立,所以是函数的对称轴,即,所以,又,所以,即,所以,所以,即.由,得,即函数的单调递增区间是,所以D正确,选D.
2 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图象可知，所以函数的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，选B.
二、填空题
3．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）若，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以为第三象限，所以，即。
4．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）在△中，若，则 ．
【答案】
【解析】根据正弦定理可得，即，解得，因为，所以，所以，所以。
5．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
【答案】，
【解析】若，则，，此时，即的值域是。
若，则，。因为当或时，，所以要使的值域是，则有，即，所以，即的取值范围是。
6．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在中,若,则_______,________.
【答案】
【解析】由得,.由正弦定理得.又,即,解得.
7．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知中，AB=，BC=1，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由得，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。
8．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在中，若,，，则= .
【答案】3
【解析】由，知，得，，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去）。
9．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在中，若，则边上的高等于 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得，即整理得，解得。所以BC边上的高为。
10．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在△ABC中，角所对的边分别为，则 ，△ABC的面积等于 .
【答案】
由余弦定理得，即，解得或（舍去）。所以。
三、解答题
11.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 已知函数 其中 ,.
（1）求函数的值域；
（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.
【答案】（1） = …………………………………5分
所以函数的值域为 …………………………………………………7分
（2）由 得 …………………………………………………9分
所以
由 ………………………………………11分
得
所以函数的单调增区间为. ………13分
12．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）在中，角的对边分别为，，的面积为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）由已知，，，
因为 ，
即 ，
解得 .
由余弦定理可得:,
所以 . ………………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有,
由于B是三角形的内角，
易知 ,
所以
. ………………..13分
13．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．
【答案】（Ⅰ）
.……………………………………………3分
所以．……………………………………………………………4分
由，
得．
故函数的单调递减区间是（）．…………………7分
（Ⅱ）因为，
所以．
所以．…………………………………………………………10分
因为函数在上的最大值与最小值的和，
所以．…………………………………………………………………………13分
14．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域．
【答案】（Ⅰ）因为，且，
所以，．
因为
．
所以． ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以
，．
因为，所以，当时，取最大值；
当时，取最小值．
所以函数的值域为． ……………………13分
15．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在△中，已知．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
【答案】（Ⅰ）解法一：因为，
所以 ． ………………3分
因为 ， 所以 ，
从而 ， ………………5分
所以 ． ………………6分
解法二： 依题意得 ，
所以 ，
即 ． ………………3分
因为 ， 所以 ，
所以 ． ………………5分
所以 ． ………………6分
（Ⅱ）解法一：因为 ，，
根据正弦定理得 ， ………………7分
所以 ． ………………8分
因为 ， ………………9分
所以 ， ………………11分
所以 △的面积． ………………13分
解法二：因为 ，，
根据正弦定理得 ， ………………7分
所以 ． ………………8分
根据余弦定理得 ， ………………9分
化简为 ，解得 ． ………………11分
所以 △的面积． ………………13分
16．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数的最小正周期为.
(I)求的值;
(II)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(I)
因为是最小正周期为,
所以,
因此
(II)由(I)可知,,
因为,
所以
于是当,即时,取得最大值;
当,即时,取得最小值
17．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）由已知，得
……………………2分
， ……………………4分
所以 ，
即 的最小正周期为； ……………………6分
（Ⅱ）因为 ，所以 ． ……………… 7分
于是，当时，即时，取得最大值；…… 10分
当时，即时，取得最小值．……………13分
18．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
【答案】（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ． ………………………………………………………2分
∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………………3分
∵的终边在第二象限，∴ ．………………………………………4分
∴==+=．……………7分
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||, ……………………………………9分
又∵，…………………11分
∴，
∴．…………………………………………………………………13分
方法（2）∵， …………………10分
∴= ． ………………………………… 13分
19．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
【答案】（Ⅰ）由得(Z)，
故的定义域为RZ}．…………………2分
因为
，………………………………6分
所以的最小正周期．…………………7分
（II）由 …………..9分
当，…………….11分
当.……………….13分
20．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
【答案】（Ⅰ）
…………………………………………2分
……………………………………………4分
所以函数的最小正周期为. …………………………………………6分
由，，则.
函数单调递减区间是，. ………………………9分
(Ⅱ)由，得. ………………………………………11分
则当，即时，取得最小值. …………………13分
21．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为 ……………2分
……………5分
……………7分
（Ⅱ）因为，所以 ……………9分
当时，即时，的最大值为； ……………11分
当时，即时，的最小值为. ………13分
22．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ）由 ………………1分
得 ………………3分
所以函数的定义域为 ……………4分
（Ⅱ）
= ……………8分
= ……………10分
所以 ……………13分
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