一、选择题
1．函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50(x∈Z) B．y＝1 000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝·ex
[答案] D
[解析] 指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x
[答案] A
[解析] y＝2×2x＝2x＋1.
4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
[答案] D
[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案．
5．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20 g付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮0.80元(信的质量在100 g以内)．某人所寄一封信的质量为72.5 g，那么他应付邮费( )
A．3.20元 B．2.90元
C．2.80元 D．2.40元
[答案] A
[解析] 由题意，得20×3<72.5<20×4，则他应付邮费为0.80×4＝3.20(元)．
6．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(单位：万元)．已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
[答案] B
[解析] 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
7．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法：( )
①前5分钟温度增加越来越快；
②前5分钟温度增加越来越慢；
③5分钟后温度保持匀速增加；
④5分钟后温度保持不变．
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
[答案] C
[解析] 前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；
5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．
8．已知某食品厂生产100 g饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：
型号
小包装
大包装
质量
100 g
300 g
包装费
0.5元
0.8元
售价
3.00元
8.40元
下列说法中，正确的是( )
①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多 ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．
A．①④ B．①③
C．②③ D．②④
[答案] D
[解析] 小包装平均每元可买饼干克，大包装平均每元可买饼干>克，因此买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．
二、填空题
9．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
[答案] 甲
10．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．
[答案] (1＋p)12－1
11．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
[答案] y1
[解析] 从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
12．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________________．
[答案] ax>xn>logax
三、解答题
13．甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年 30个减少到第6个10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．
[解析] (1)由题意，得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y1＝0.2x＋0.8，图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点．从而求得其解析式为y2＝－4x＋34.则当x＝2时，y1＝0.2×2＋0.8＝1.2，y2＝－4×2＋34＝26，y1×y2＝1.2×26＝31.2，所以第2年全县有鱼池26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．
(2)设当第m年时，出产量为n，那么n＝y1·y2＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，所以当m＝2时，n有最大值为31.2，即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．
14．试比较函数y＝x200，y＝ex，y＝lgx的增长差异．
[解析] 增长最慢的是y＝lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝ex增长得快；当x较大(如x>1 000)时，y＝ex要比y＝x200增长得快．
15．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解析] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
16．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点)．
[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
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