一、选择题
1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2x B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
[答案] C
[解析] 当x=1时,否定B,当x=2时,否定D,当x=3时,否定A,故选C.
2.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,原来按成本价出售,由于市场销售发生变化,甲产品连续两次提价,每次提价都是20%;同时乙产品连续两次降价,每次降价都是20%,结果都以92.16元出售,此时厂家同时出售甲、乙产品各一件,盈亏的情况是( )
A.不亏不盈 B.赚23.68元
C.赚47.32元 D.亏23.68元
[答案] D
[解析] 设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元,则x(1+20%)2=92.16,y(1-20%)2=92.16,∴x=64,y=144,64+144-92.16×2=23.68.
3.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] B
[解析] 设至少需要清洗n次,由已知得
(1-)n≤1%即≤.
∴4n≥100 ∴n≥4,故选B.
4.某种产品市场销量情况如图所示,其中:l1表示产品各年产量的变化规律;l2表示产品各年的销售情况,下列叙述:
①产品产量、销量均以直线上升,仍可按原生产计划进行;
②产品已经出现了供大于求的情况,价格将下跌;
③产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销量;
④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加.
你认为较合理的是( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.②③
[答案] D
5.已知A、B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数,表达式是( )
A.x=60t
B.x=60t+50
C.x=
D.x=
[答案] D
[解析] 从A地到B地的来回时间分别为:
=2.5,=3,
x= 故选D.
6.“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过800元,免征个人所得税,超过800元部分需征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入-800元,税率见下表:
级数
全月纳税所得额
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2 000元部分
10%
3
超过2 000元至5 000元部分
15%
…
…
…
9
超过10 000元部分
45%
某人一月份应缴纳此项税款26.78元,则他当月工资总收入介于( )
A.800~900元 B.900~1 200元
C.1 200~1 500元 D.1 500~2 600元
[答案] C
[解析] 解法1:(估算法)由500×5%=25元,100×10%=10元,故某人当月工资应在1 300~1 400元之间,故选C.
解法2:(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元,则其应纳税款分别为400×5%=20元,500×5%+200×10%=45元.可排除A,B,D,故选C.
7.某店从水果批发市场购得椰子两筐,连同运费总共花了300元,回来后发现有12个是坏的,不能将它们出售,余下的椰子按高出成本价1元/个售出,售完后共赚78元.则这两筐椰子原来的总个数为( )
A.180 B.160
C.140 D.120
[答案] D
[解析] 设原来两筐椰子的总个数为x,成本价为a元/个,则,解得,故这两筐椰子原来共有120个.
8.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况,一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图象,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中正确的是( )
[答案] C
[解析] 即时价格若一直下跌,则平均价格也应该一直下跌,故排除A、D;即时价格若一路上升,则平均价格也应一直上升,排除B.(也可以由x从0开始增大时,f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点,排除A、D),故选C.
二、填空题
9.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好.
[答案] 甲
[解析] 代入x=3,可得甲y=10,
乙,y=8.显然选用甲作为拟合模型较好.
10.长为4、宽为3的矩形,当长增加x,且宽减少时面积最大,此时x=________,最大面积S=________.
[答案] 1
[解析] S=(4+x)=-+x+12
=-(x-1)2,当x=1时,Smax=.
11.某养鱼场,第一年鱼的重量增长率为200%,以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半,问经过四年鱼的重量是原来的________倍.
[答案]
[解析] 设原来鱼重a,四年后鱼重为a(1+200%)(1+100%)(1+50%)(1+25%)=a,=.
12.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系为y=()t-a(a为常数)其图象如图.根据图中提供的信息,回答问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________.
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时,学生才可进入教室,那么从药物释放开始至少经过______小时,学生才能回到教室.
[答案] (1)y= (2)0.6
[解析] (1)设0≤t≤时,y=kt,
将(0.1,1)代入得k=10,
又将(0.1,1)代入y=()t-a中,得a=,
∴y=.
(2)令()t-≤0.25得t≥0.6,∴t的最小值为0.6.
三、解答题
13.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm,椅子的高度为xcm,则y应是x的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌,它们是否配套?为什么?
[解析] (1)根据题意,课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设函数关系式为y=kx+b.
将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式,
得∴
∴y与x的函数关系式是y=1.6x+11.
(2)把x=42代入上述函数关系式中,
有y=1.6×42+11=78.2.
∴给出的这套桌椅是配套的.
[点评] 本题是应用一次函数模型的问题,利用待定系数法正确求出k,b是解题的关键.
14.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
[解析] (1)由提供的数据知道,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,从而用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.
以表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c得到,解得
所以,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.
(2)当t=-=150天时,西红柿种植成本最低为Q=·1502-·150+=100 (元/102kg).
15.某工厂现有甲种原料360 kg,乙种原料290 kg,计划利用这些原料生产A、B两种产品共50件,已知生产一件A种产品,需用甲种原料9 kg,乙种原料3 kg,可获利润700元.生产一件B种产品,需用甲种原料4 kg,乙种原料10 kg,可获利润1200元.
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请设计出来.
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y元,其中一种的生产件数为x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
[分析] 设生产A种产品x件,则生产B种产品(50-x)件,据题意:生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg,所用乙种原料不超过290 kg即可.
[解析] (1)设生产A种产品x件,则生产B种产品为(50-x)件,
依题意得解得30≤x≤32.
∵x是整数,∴只能取30,31,32.
∴生产方案有三种,分别为A种产品30件B种产品20件;A种产品31件B种产品19件;A种产品32件B种产品18件.
(2)设生产A种产品x件,则B种产品(50-x)件.
y=700x+1 200(50-x)=-500x+600 00,
∵k=-500<0,∴y随x增大而减小,
∴当x=30时,y最大=-500×30+600 00=45 000.
∴安排生产A种产品30件,B种产品20件时,获利润最大,最大利润为45 000元.
[方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决,第(2)问是利用一次函数增减性解决问题,要注意第(2)问 与第(1)问相互联系.即根据实际问题建立好函数关系式后,特别要注意函数的定义域.
16.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.
①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?
[解析] (1)设A,B两种产品分别投资x万元,x≥0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.
由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.
根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).
g(x)=2(x≥0).
(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6.∴总利润y=8.25万元.
②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.
则y=(18-x)+2,0≤x≤18.
令=t,t∈[0,3],
则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.
∴当t=4时,ymax==8.5,此时x=16,18-x=2.
∴当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.
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