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一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x－1 B．f(x)＝ln x＋2x－6
C．f(x)＝x2－4x＋4 D．f(x)＝3x－1
解析： 选项A、B、D中函数都是单调函数，故能用二分法求零点，选项C中函数具有二重零根，故不能用二分法求零点，故选C.
答案： C
2．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A. B.
C. D.
解析： f＝－2<0，f(1)＝e－1>0，
∵f·f(1)<0，
∴f(x)的零点在区间内，故选B.
答案： B
3．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( )
A．(－2,6) B．[－2,6]
C．{－2,6} D．(－∞－2)∪(6，＋∞)
解析： 若函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则方程x2＋mx＋(m＋3)＝0有两个不相等的实数根，
从而应有Δ＝m2－4(m＋3)>0.
故m<－2或m>6.故选D.
答案： D
4．下列函数增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
解析： 通过三类函数增长的情况比较知：指数函数当底数大于1时，增长速度最快，∵e>2，∴y＝ex的增长速度最快，故选A.
答案： A
5．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )
解析： 把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．故选C.
答案： C
6．方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： y＝2x与y＝x2的交点个数即为方程2x－x2＝0的解的个数．
如图所示
x＝2时，22＝4
x＝4时，24＝42
x<0时，y＝2x与y＝x2有一个交点，
共3个交点．
答案： C
7．某林区的森林面积每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析： 由题意得(1＋10.4%)y＝x，
∴y＝log1.104x(y≥0)．
答案： D
8．当x∈(4，＋∞)时，f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的大小关系是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析： 在同一坐标系中，画出三个函数的图象，如下图所示．
当x＝2时，f(x)＝g(x)＝4，
当x＝4时，f(x)＝g(x)＝16，
当x>4时，g(x)图象在最上方，h(x)图象在最下方，
故g(x)>f(x)>h(x)．故选B.
答案： B
9．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；…；当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠( )
A．17 000元 B．17 540元
C．17 500元 D．17 580元
解析： 这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20＝14 000(元)，只有这位顾客继续把奖励券消费掉，才能得到最多优惠，但当他把14 000元奖励券消费掉可得140×20＝2 800元奖励券再消费又可得到28×20＝560(元)奖励券，560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20＝120元，
120元奖励券消费时又得20元奖励券．
∴他总共会得到14 000＋2 800＋560＋120＋20＝17 500(元)优惠．
答案： C
10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元保管费，这个个体户若要获得最大收益，则这批货( )
A．月初售出好 B．月末售出好
C．月初或月末一样 D．由成本费的大小确定
解析： 设这批货成本为a元，月初售出可收益(a＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，
月末售出可收益a＋1 200－50＝a＋1 150(元)．
令(a＋1 000)×1.024－a－1 150
＝0.024a－126.
当a>＝5 250时，月初售出好；
当a<5 250时，月末售出好；
当a＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出．
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．若关于x的方程x2－x－(m＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m的取值范围是________．
解析： 方程可化为m＝x2－x－1，x∈[－1,1]，
即要求f(x)＝x2－x－1，x∈[－1,1]的值域．
∵f(x)∈，
∴m∈时方程必有解．
答案：
12．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．
解析： 由f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)＝0得
x＝±或x＝1或x＝2.
∴函数f(x)的零点为－，1，，2.
答案： －，1，，2
13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．
解析： 由题意知：3 860＋500＋1 000[(1＋x%)＋(1＋x%)2]≥7 000
∴x2＋300x－6 400≥0
∴x≥20
答案： 20
14．对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．已知实数a∈(4,5)，则函数f(x)＝x2＋ax＋1的不动点共有________个．
解析： 由定义，令x2＋ax＋1＝x，则x2＋(a－1)x＋1＝0.当a∈(4,5)时，Δ＝(a－1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，f(x)＝x2＋ax＋1(a∈(4,5))有2个不动点．
答案： 2
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确到0.1)．
解析： 由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间(1,1.5)内存在零点，取区间(1,1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间中点
中点的函数值
取区间
[1,1.5]
x0＝1.25
f(x0)<0
(1.25,1.5)
x1＝1.375
f(x1)>0
(1.25,1.375)
x2＝1.312 5
f(x2)<0
(1.312 5,1.375)
x3＝1.343 75
f(x3)>0
(1.312 5,1.343 75)
∵区间(1.312 5,1.343 75)两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的零点近似值为1.3.
16．(本小题满分12分)有时可用函数f(x)＝
描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N＋)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(参考数据e0.05≈1.051)
解析： (1)当x≥7时，
f(x＋1)－f(x)＝.
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，
且(x－3)·(x－4)>0.
故函数f(x＋1)－f(x)单调递减．
所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15ln＝0.85，
整理得＝e0.05，
解得a＝·6≈20.50×6＝123.0，
且123.0∈(121,127]．
由此可知，该学科是乙学科．
17．(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表，根据此表所给的信息进行预测：
(1)如果不采取任何措施，那么到2015年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；
(2)如果从2005年底后采取植树造林措施，每年改造0.6万公顷的沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到90万公顷？
观测时间
2001年底
2002年底
2003年底
2004年底
2005年底
该地区沙漠比原有面积增加数(万公顷)
0.200 0
0.400 0
0.600 1
0.799 9
1.000 1
解析： (1)由表观察知，沙漠面积增加数y与第x年年底之间的图象近似地为一次函数y＝kx＋b的图象．将x＝1，y＝0.2与x＝2，y＝0.4代入y＝kx＋b，求得k＝0.2，b＝0，所以y＝0.2x(x∈N)．因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2015年底沙漠面积大约为
95＋0.2×15＝98(万公顷)．
(2)设从2001年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意，得95＋0.2x－0.6(x－5)＝90，
解得x＝20(年)．
故到2020年底，该地区沙漠面积将减少到90万公顷．
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解析： (1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.
∵a≠0，a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋＋18，图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
∴fmin(x)＝f(1)＝12，fmax(x)＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
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