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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝x－的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析： 令f(x)＝0，即x－＝0.
∴x＝±2.故f(x)的零点有2个，选C.
答案： C
2．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析： 由根与系数的关系得
－3＋x＝－，∴x＝1.
即另一个零点是1，故选B.
答案： B
3．设函数f(x)＝x3－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析： 方法一：令f(x)＝x3－x－2，
则f(0)＝0－－2＝－4<0，
f(1)＝1－－2＝－1<0，
f(2)＝23－0＝7>0，
f(3)＝27－1＝26>0，
f(4)＝43－2＝63>0，
∴f(1)·f(2)<0，
故x0所在的区间是(1,2)．
方法二：数形结合法，如图所示．
答案： B
4．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0， f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析： y＝2x在(1，＋∞)上是增函数
y＝在(1，＋∞)上是增函数
∴f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上是增函数．
∴y＝f(x)只有x0一个零点
∴x1x0时，f(x2)>0.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝零点的个数为________．
解析： x≤0时，令x2＋2x－3＝0
解得x＝－3
x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0
故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
答案： 2
6．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．
解析： ∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，
∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.
∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，
∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.
∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.
∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.
答案： －6
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解析： 方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又显然f (x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．
方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
解析： 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1
∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴.即
∴b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)设x1，x2∈R，x1b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.
∴Δ＝b2－4ac≥－4ac>0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，
∴f(x)必有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则
g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f (x2)]＝[f(x2)－f(x1)]．
∵g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2，
且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)<0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．
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