限时:60分钟 满分:84分
1.(满分14分)设f(x)=cos 2x+asin x-0≤x≤.
(1)用a表示f(x)的最大值M(a).
(2)在(1)中的条件下,当M(a)=2时,求a的值.
解:(1)f(x)=(1-2sin2x)+asin x-,
即f(x)=-sin2x+asin x+-,
所以f(x)=-2+-+.
∵0≤x≤,∴0≤sin x≤1.
∴当≥1时即a≥2时,M(a)=f=-;
当0<<1即00,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f=,0<α<,求cos α的值.
解:(1)由图像知A=1,
f(x)的最小正周期T=4×=π,故ω==2,
将点代入f(x)的解析式得sin=1,
又∵|φ|<,∴φ=.
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)f=,即sin=,又0<α<,
则<α+<,所以cos=.
又cos α=cos
=coscos +sinsin
=.
3.(满分14分)(2012·杭州模拟)把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后再向左平移个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x).
(1)求ω和φ的值;
(2)求函数h(x)=f(x)-g2(x),x∈的最大值与最小值.
解:(1)f1(x)=2cos→g(x)=2cos.
由=2π?ω=2,
则g(x)=2cos,又φ+=?φ=.
(2)h(x)=2cos-4sin2x
=2×cos 2x-2×sin x-2(1-cos 2x)
=3cos 2x-sin 2x-2
=2-2
=-2sin-2.
当x∈?2x∈?
2x-∈,
故h(x)max=2-2,h(x)min=--2.
4.(满分14分)已知函数f(x)=sin cos -sin2 .
(1)若函数g(x)=f(x)-m在(-∞,+∞)上无零点,求实数m的取值范围;
(2)设A,B,C是△ABC的三个内角,若f(A)=f(B)且A≠B,求f(C)的值.
解:(1)f(x)=sin x-=(sin x+cos x)-=sin-.
g(x)=f(x)-m在(-∞,+∞)上无零点,
即y=f(x)与y=m的图像无交点.
因为f(x)=sin-∈,
所以m∈∪.
(2)由f(A)=f(B)得sin=sin.
因为A,B是△ABC的三个内角,
所以A+,B+∈,而A≠B,
故有A+=π-,即A+B=,
从而C=π-(A+B)=,
所以f(C)=sin-=sin-=cos -=0.
5.(2012·长沙模拟)已知A,B,C是锐角三角形ABC的三内角,设向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A),且p∥q.
(1)求A的大小;
(2)当函数y=2sin2B+cos 取最大值时,求B的大小.
解:(1)∵p与q是共线向量,
∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=2+2sin A-2sin A-2sin2 A-sin2 A+cos2A=1+2cos 2A=0,∴cos 2A=-.
又∵A∈,∴2A∈(0,π),∴2A=π,∴A=.
(2)由(1)知C=-B,
则y=2sin2 B+cos =1-cos 2B+cos
=sin 2B-cos 2B+1=sin+1.
又∵
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