1.设x,y,z为正数,求证:
2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
证明:因为x2+y2≥2xy≥0,
所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y),
同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x),
三式相加即可得
2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx (z+x),
又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y),
所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
2.若正数a,b,c满足a+b+c=1,求++的最小值.
解:因为正数a,b,c满足a+b+c=1,
所以[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2,又(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9
所以++≥1,当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=时,原式取最小值1.
3.设函数f(x)=|2x+1|-|x-3|.
(1)解不等式f(x)≥4;
(2)求函数y=f(x)的最小值.
解:(1)f(x)=|2x+1|-|x-3|=
不等式f(x)≥4等价于
或或
解得x≤-8或x≥2.
所以原不等式的解集为{x|x≤-8或x≥2}.
(2)由(1)知,当x<-时,f(x)=-x-4,f(x)单调递减;
当-≤x≤3时,f(x)=3x-2,f(x)单调递增;
当x>3时,f(x)=x+4,f(x)单调递增.
故当x=-时,y=f(x)取得最小值.
此时f(x)min=-.
4.(2012·辽宁高考)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1|}.
(1)求a的值;
(2)若≤k恒成立,求k的取值范围.
解:(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意;
当a>0时,-≤x≤,得a=2.
(2)记h(x)=f(x)-2f,
则h(x)=
所以|h(x)|≤1,因此k≥1.
即k的取值范围是[1,+∞).
5.已知函数f(x)=|x-1|+|2x+2|.
(1)解不等式f(x)>5;
(2)若不等式f(x)1时,f(x)>5?3x+1>5?x>,
又因为x>1,所以x>;
当-1≤x≤1时,f(x)>5?x+3>5?x>2,
又因为-1≤x≤1,此时无解;
当x<-1时,f(x)>5?-3x-1>5?x<-2,
又因为x<-1,所以x<-2.
综上可知,f(x)>5的解集为.
(2)由f(x)=可得函数f(x)的值域为[2,+∞).
又因为不等式f(x)1时,不等式的解集为;
②当a=1时,不等式的解集为{x|x=1};
③当a<1时,不等式的解集为.
7.设函数f(x)=|2x-1|+|x-4|.
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)若?x∈R,f(x)≥-λ2+λ,求实数λ的取值范围.
解:(1)依题意得f(x)=
由解得x<;
由解得14.
综上可知,不等式f(x)>4的解集为.
(2)由y=f(x)的图像可知f(x)在x=处取得最小值,
∵对?x∈R,f(x)≥-λ2+λ,
∴≥-λ2+λ,即2λ2-9λ+7≥0,∴λ≤1或λ≥.
∴实数λ的取值范围为(-∞,1]∪.
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