限时：60分钟 满分：84分
1．(满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，
故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．
又因为a1＝S1＝，所以an＝－n.
(2)因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
2Tn＝2＋2＋＋＋…＋.
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
2．(满分14分)(2012·郑州模拟)已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得
解得
所以{an}的通项an＝2n－1.
(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.
当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；
当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝
3．(满分14分)(2012·武汉模拟)已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差不为零，且a2＝3，又a4，a5，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数对(n，k)，使得nan＝kSn？若存在，求出所有的正整数对(n，k)；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为a4，a5，a8成等比数列，所以a＝a4a8.
设数列{an}的公差为d，
则(a2＋3d)2＝(a2＋2d)(a2＋6d)．
将a2＝3代入上式化简整理得d2＋2d＝0.
又因为d≠0，所以d＝－2.
于是an＝a2＋(n－2)d＝－2n＋7，即数列{an}的通项公式为an＝－2n＋7.
(2)假设存在正整数对(n，k)，使得nan＝kSn，则由(1)知Sn＝＝6n－n2.
于是k＝＝＝＝2＋.
因为k为正整数，所以n－6≤5，即n≤11，且5能被n－6整除，故当且仅当n－6＝±5，或n－6＝1时，k为正整数．
即当n＝1时，k＝1；n＝11时，k＝3；n＝7时，k＝7.
故存在正整数对(1,1)，(11,3)，(7,7)，使得nan＝kSn成立．
4．(满分14分)(2012·嘉兴模拟)甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 mL，同时从甲、乙两个容器中各取出100 mL溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n－1(n≥2，n∈N*)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an、bn.记a1＝10%，b1＝20%.
(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；
(2)求证：数列{an－bn}是等比数列，数列{an＋bn}是常数数列；
(3)求数列{an}，{bn}的通项公式．
解：(1)由题意知，
an＝＝an－1＋bn－1，
bn＝＝bn－1＋an－1.
(2)证明：由(1)知，an－bn＝(an－1－bn－1)，
又因为a1－b1≠0，所以数列{an－bn}是等比数列；
an＋bn＝an－1＋bn－1＝…＝a1＋b1＝30%，
所以数列{an＋bn}是常数数列．
(3)因为a1－b1＝－10%，数列{an－bn}是公比为的等比数列，所以an－bn＝－10%×n－1.
又因为an＋bn＝30%，所以an＝－5%×n－1＋15%，bn＝5%×n－1＋15%.
5．(满分14分)已知正项等比数列{an}满足：log3a1＋log3a3＝4，log3a5＋log3a7＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Tn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，数列{bn}满足：bn＝；若存在n∈N*，使不等式m<(b1＋b2＋…＋bn)n成立，求实数m的取值范围．
解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q，根据题意得
a1a3＝a＝34，则a2＝32，同理得a6＝36，
由a6＝a2q4，可得q＝3.
故an＝3n，n∈N*.
(2)∵Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，[z,zs,tep.com]
∴bn＝＝－，
∴b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.
设f(n)＝n，
则f(n＋1)－f(n)＝－n·≤0，
∴f(1)＝f(2)>f(3)>f(4)>…，
∴f(n)≤f(1)＝.
故m的取值范围是.
6．(满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)若cn＝tn[lg(2t)n＋lg an＋2](0t(n＋1)，即t<.
∵n∈N*，＝≥，∴0
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