限时：40分钟 满分：56分
1．(满分14分)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0 的圆心．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．
解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)．
从而可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝.所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，
l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝，
由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得＝，即[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k1＋y－2＝0.
同理可得[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k2＋y－2＝0.
从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y－2＝0的两个实根，于是
①
且k1k2＝＝.
由得5x－8x0－36＝0，
解得x0＝－2，或x0＝.
由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝得y0＝±，它们均满足①式．
故点P的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或，或.
2．(满分14分)如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t12，bb>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)由e＝＝ ＝ ，得a＝b，
椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，
设P(x，y)为C上任意一点，
则|PQ|＝
＝，－b≤y≤b，
若b<1，则－b>－1，当y＝－b时，
|PQ|max＝＝3，
又因为b>0，得b＝1(舍去)；
若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，
|PQ|max＝＝3，得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)法一：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，
则有＋n2＝1，
即n2＝1－，－≤m≤.
由题意可得S△AOB
＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB≤，
当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，
此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，
则 ＝，得m2＋n2＝2，又因为＋n2＝1，
解得m2＝，n2＝，
即存在点M的坐标为，或，或，或满足题意，且△AOB的最大面积为.
法二：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，
则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.
设A(x1， y1)、B(x2，y2)，由
消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①
把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，
则Δ＝8m2(3－m2)≥0，
所以②
而S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB，
当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，
此时·＝x1x2＋y1y2＝0，
又因为y1y2＝·＝，
所以x1x2＋＝0，
即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，
把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，
解得m2＝或m2＝3(舍去)，
所以m＝±，n＝± ＝±，
所以M点的坐标为，或，或，或，使得S△AOB取得最大值.
4．(满分14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意设椭圆的标准方程为：
＋＝1(a>b>0)．
由已知得a＋c＝3，a－c＝1，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，
所以kADkBD＝－1，即·＝－1.
故y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
即＋＋＋4＝0.
则7m2＋16mk＋4k2＝0.
解得m＝－2k，或m＝－，且均满足3＋4k2－m2>0.
当m＝－2k时，l的方程为：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；
当m＝－时，l的方程为：y＝k，直线过定点.
所以，直线l过定点，定点坐标为.
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