单元评估检测(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
2.函数f(x)对任意x∈R,恒有f(x+2)=-f(x)，且f(1)=2,则f(11)=( )
(A)-2 (B)2 (C)0 (D)1
3.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
(A)f(x)+|g(x)|是偶函数
(B)f(x)-|g(x)|是奇函数
(C)|f(x)|+g(x)是偶函数
(D)|f(x)|-g(x)是奇函数
4．(预测题)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)是定义在R上的单调递减函数，则函数g(x)=loga(x+1)的图象大致是( )
5．当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜logax恒成立,则实数a的取值范围为( )
(A)(2,3］ (B)［4,+∞)
(C)(1,2］ (D)［2,4)
6．(2012·武汉模拟)定积分的值为( )
(A)-1 (B)1 (C)e2-1 (D)e2
7．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)( )
(A)在区间(，1)，(1，e)内均有零点
(B)在区间(，1)，(1，e)内均无零点
(C)在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
(D)在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则
f′(1)=( )
(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9．已知函数f(x)的定义域为［-1，1］，图象过点(0，－5)，它的导函数
f′(x)＝4x3-4x，则当f(x)取得最大值-5时，x的值应为_______.
10．(易错题)定义在R上的函数f(x)满足(x+2)f′(x)＜0，又a=f(), b=f(()0.3), c=f(ln3)，则a、b、c的大小关系是_______.
11．(2011·湖南高考)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b)，则b的取值范围为______.
12．(2011·四川高考)计算(lg-lg25)÷=______.
13．已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为______．
14．(2012·郑州模拟)函数f(x)=(x+a)3对任意t∈R，总有f(1+t)=-f(1-t)，则f(2)+f(-2)等于______.
15．(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A，若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题：
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1,x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f:A→B为单函数，则对于任意b∈B,A中至多有一个元素与之对应；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.
其中的真命题是______.(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)求下列关于x的函数的定义域和值域：
(1)
(2)y=log2(-x2+2x);
(3)
x
0
1
2
3
4
5
y
2
3
4
5
6
7
17.(12分)(2012·揭阳模拟)已知f(x)=x2+(a-3)x+a.
(1)对于x∈R,f(x) >0总成立，求a的取值范围；
(2)当x∈(-1,2)时f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
18.(12分)(2012·长沙模拟)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时，求f(x)的最小值；
(2)若函数g(x)=f(x)-在区间(1，2)上不单调，求a的取值范围.
19.(13分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)= (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
20.(13分)(2012·湘潭模拟)已知f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数，当x∈(0,e]时f(x)=ax+2lnx,(a∈R).
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数a，使得当x∈[-e,0)时，f(x)的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由.
21.(12分)已知二次函数g(x)对任意x∈R都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1且g(1)=-1，设函数f(x)=g(x+)+mlnx+(m∈R，x>0)．
(1)求g(x)的表达式；
(2)若存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围；
(3)设10的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(,1)内无交点，在(1,e)内有1个交点，故选D.
【变式备选】已知函数则关于x的方程f(x)=log2x解的个数为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y=f(x)与y=log2x的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.
8．【解析】选B.f′(x)=2f′(1)+，令x=1得f′(1)=2f′(1)+1，∴f′(1)=-1，故选B．
9．【解析】易知f(x)=x4-2x2-5,f′(x)=0时x=0或x=±1,又因为定义域为［-1，1］，只有f(0)=-5,所以x=0.
答案：0
10．【解析】∵(x+2)f′(x)＜0,∴当x＜-2时,f′(x)＞0.
当x＞-2时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增，在(-2,+∞)上单调递减.
又
答案：c＜b＜a
11．【解析】∵f(a)>-1,∴g(b)>-1,
∴-b2+4b-3>-1,∴b2-4b+2<0,
∴2-0,∴00对x∈(-1,2)恒成立,即a(x+1)>3x-x2.
又x∈(-1,2),故x+1∈(0,3),
∴a>=-(x+1)-+5.
∵x+1∈(0,3)时，x+1+的最小值为4(当且仅当x=1时取得)，∴a>1为所求.
18．【解析】(1)当a=1时，f(x)=+lnx-1,
,
令f′(x)=0得x=1;f′(x)<0得00得x>1,
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
故fmin(x)=f(1)=0.
(2)g(x)=,
∵g(x)在(1，2)上不单调，
∴x2-ax+1=0在(1，2)上有根且无重根，
即方程a=x+在(1，2)上有根，且无重根，
∴20，
故x=5时f(x)取得最小值，且最小值f(5)=6×5+=70.
因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元.
方法二：
∵f(x)=+6x=+(6x+10)-10
≥-10(当且仅当=6x+10，
即x=5∈［0,10］时取等号)
∴x=5时，f(x)取得最小值，且最小值f(5)=6×5+=70.
因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元.
20．【解析】(1)设x∈[-e,0)，则-x∈(0,e],
∴f(-x)=-ax+2ln(-x).
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)=-f(-x)=ax-2ln(-x).
又f(0)=0,故函数f(x)的解析式为：
(2)假设存在实数a,使得当x∈[-e,0)时，
f(x)=ax-2ln(-x)有最小值是4.
∵
①当a≥0或即a≥时，
由于x∈[-e,0),则f′(x)≥0.
故函数f(x)=ax-2ln(-x)是[-e,0)上的增函数.
∴所以f(x)min=f(-e)=-ae-2=4,
解得(舍去).
②当即a<-时，则
x
(-e,)
(,0)
f′(x)
-
+
f(x)
∴f(x)min=f()=2-2ln(-)=4,
解得a=-2e.
综上所知，存在实数a=-2e,使得当x∈[-e,0)时，f(x)最小值是4.
21.【解析】(1)设g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，于是
g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2，
所以
又g(1)=-1，则所以g(x)=
(2)f(x)=g(x+)+mlnx+=x2+mlnx(m∈R,x>0).
当m>0时，由对数函数的性质知，f(x)的值域为R；
当m=0时，f(x)=，对任意x>0，f(x)>0恒成立；
当m<0时，由f′(x)=x+=0得
列表：
x
(0, )
(,+∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
这时f(x)min=f()=
由f(x)min≤0得所以m≤-e,
综上，存在x>0使f(x)≤0成立，实数m的取值范围是(-∞,-e］∪(0,+∞)．
(3)由题知H(x)=x2-(m+1)x+mlnx, 因为对任意x∈［1,m］，所以H(x)在［1,m］内单调递减.
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=m2-mlnm-.
要使|H(x1)-H(x2)|<1恒成立，则需m2-mlnm-<1成立，
即m-lnm-<0.
记则
所以函数h(m)=m-lnm-在(1,e］上是单调增函数，
所以h(m)≤h(e)=-1-=<0，故命题成立.
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