单元评估检测（六）
（第六章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2012?衡阳模拟)全集U＝R，且A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(A)∩B=( )
(A)[-1,4) (B)(2,3) (C)(2,3] (D)(-1,4)
2.下列推理是归纳推理的是( )
(A)A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆
(B)由a1=1,an=3n-1,求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
(C)由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆=1的面积S=πab
(D)以上均不正确
3．(2012·潮州模拟）已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )
（A）最大值为0 （B）最小值为0
（C）最大值为-4 （D）最小值为-4
4.(2012?益阳模拟)设f(x)=,则不等式f(x)>2的解集为( )
(A)(1,2)∪(3,+∞) (B)(10,+∞)
(C)(1,2)∪(10,+∞) (D)(1,2)
5.设a，b，c∈(－∞，0)，则 ( )
(A)都不大于－2
(B)都不小于－2
(C)至少有一个不大于－2
(D)至少有一个不小于－2
6.(2012·西安模拟)设函数则不等式f(x)>f(1)的解集
是( )
(A)(-3,1)∪(3,+∞)
(B)(-3,1)∪(2,+∞)
(C)(-1,1)∪(3,+∞)
(D)(-∞,-3)∪(1,3)
7.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
8．设z＝x＋y，其中x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为( )
(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5
二、填空题 (本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9．已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为 _________.
10．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为的月饼最少为_________.
11．如表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.
比赛项目
票价(元/场)
足球
篮球
乒乓球
100
80
60
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为_________.
12. (2012?邵阳模拟)设B= (n∈N*),则A与B的大小关系是_________.
13.不等式组表示的区域为D，z＝x＋y是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为_________，z的最大值为_________．
14.已知a>0,b>0，则的最小值是________.
15．（预测题）方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1 000，，则x2 012＝__________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（12分）已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：.
17.（12分）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?［1,4］，求实数a的取值范围.
18.（12分）（2012·南京模拟）某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少万件．
(1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？
(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？
19．（13分）（2012·潍坊模拟）已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0，其中
k∈R.
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）. 试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
20.（13分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0，f(2+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=-1;
(2)求证：c≥3;
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b、c的值.
21.(13分)(易错题)函数,数列{an}和{bn}满足：a1=,an+1=f(an),函数y=f(x)的图象在点(n,f(n))(n∈N*)处的切线在y轴上的截距为bn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列的项中仅最小，求λ的取值范围；
(3)若函数令函数h数列{xn}满足：x1=,03或x<-1},B={x|20,
∴x+-2=-［(-x)+］-2
≤=-4,
等号成立的条件是即x=-1.
4.【解析】选C.当x<2时，2ex-1>2,
∴ex-1>1=e0,∴x-1>0,
∴x>1,∴12,
∴x2-1>9,∴x2>,
∴x>或x<-,∴x>.
综合得x∈(1,2)∪(,+∞),所以选择C.
5.【解析】选C.因为所以三者不能都大于－2.
6.【解析】选A.由（1）
得
得0≤x<1或x>3，
由（2）得-33.
7.【解析】选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0
?
结合图形可知选C.
8．【解析】选B.如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，B(－6,3)，∴zmin＝－6＋3＝－3.
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤：
（1）画出可行域；
（2）确定目标函数的斜率；
（3）画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线；
（4）平移直线，确定满足最优解的点；
（5）求满足最优解的点的坐标.
9．【解题指南】画出可行域，可知目标函数截距最大时z最大，可解.
【解析】画出已知约束条件的可行域为△ABC内部(包括边界)，如图，易知当a＝0时，不符合题意；当a＞0时，由目标函数z＝x＋ay得
则由题意得－3＝kAC＜＜0，
故a＞.综上所述，a＞.
答案：a＞
10．【解析】平均销售量
当且仅当即t＝4∈［1,30］等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
答案：18
11．【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得.
解得：
又n∈N*，可得n＝5，∴15－2n＝5.
∴可以预订足球比赛门票5张．
答案：5
12.【解析】.
答案：A≥B
13.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z＝x＋y得，x＝2，y＝3时，有zmax＝5.
答案： 5
14.【解析】因为
当且仅当且即a=b=1时，取“=”. 所以最小值为4.
答案：4
15．【解析】由得ax2＋(2a－1)x＝0.
因为f(x)有唯一不动点，所以2a－1＝0，即a＝.
所以
所以
所以x2 012＝x1＋×2 011＝1 000＋＝2 005.5.
答案：2 005.5
16．【证明】要证，只需证b2－ac<3a2，
∵a＋b＋c＝0，
只需证b2＋a(a＋b)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，
只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．
故原不等式成立．
17.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M，验证即可，不要忘记M=?的情况.
【解析】(1)当Δ=4a2-4(a+2)<0，即-10，即a>2或a<-1时，令f(x)=x2-2ax+a+2，要使M?［1,4］，
只需
得20，则原方程有实数解?t2+at+a+1=0在（0，+∞)上有实根
得
或
得得a≤2-.
方法二：令t=2x（t>0）,则原方程化为
t2+at+a+1=0,变形得
∴a的取值范围是（-∞,］.
18.【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－p)万件，年销售额为60(80－p)万元，故所求函数为y＝60(80－p)·p%.由80－p>0，且p>0得，定义域为(0,12)．
(2)由y≥128，得60(80－p)·p%≥128，化简得p2－12p＋32≤0，(p－4)(p－8)≤0，
解得4≤p≤8.故当税率在［4%,8%］内时，政府收取税金不少于128万元．
(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为
g(p)＝60(80－p)(4≤p≤8)．
∴g(p)为减函数，∴［g(p)］max＝g(4)＝3 200(万元)．
19．【解析】（1）当k=0时，A=(-∞,4)；
当k>0且k≠2时，A=(-∞,4)∪(k+,+∞)；
当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；
当k<0时，A=(k+,4).
（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.
因为k+≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B的元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：
（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cosβ)≤0，即可获得问题的解答;
（3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答.
【解析】(1)∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立，可得f(1)≥0.
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，可得f(1)≤0,
∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1.
(2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,
∴f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ）≤0恒成立，
∴x-c≤0，即c≥x恒成立.
∴c≥3.
（3）∵f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c=(sinα-)2+c-()2,
∵≥2
∴当sinα=-1时，f(sinα)的最大值为1-b+c.
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.
21. 【解析】(1)∵an+1=f(an)=,得
∴{}是以2为首项，1为公差的等差数列，故.
(2)
∴y=f(x)在点(n,f(n))处的切线方程为
令x=0得
∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5<<5.5.
∴λ的取值范围为(9，11).
(3)
因为xn+1=h(xn),
所以又因0xn.
显然1>xn+1>xn>…x2>.
,
∵
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