单元评估检测（三）
（第三章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是( )
(A)第二象限的角比第一象限的角大
(B)若sinα＝，则α＝
(C)三角形的内角是第一象限角或第二象限角
(D)不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关
2.(2012·衡水模拟)若角α的终边过点(sin30°,-cos30°),则sinα等于
( )
3.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜π)的部分图象如图所示，则( )
（A）ω=1,φ=
（B）ω=1,φ=-
（C）ω=2,φ=
（D）ω=2,φ=-
4.将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
(A)y＝sin(2x－) (B)y＝sin(2x－)
(C)y＝sin(x－) (D)y＝sin(x－)
5.(2012·长沙模拟)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB=1,向量p=(a,b),q=(1,2),若p∥q,则∠C的大小为( )
(A) (B) (C) (D)
6.已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sinα·cosα＝( )
（A） （B）- （C）或- （D）-
7.(2012·岳阳模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=3,
B=120°,则a等于( )
(A) (B)2 (C) (D)
8.若α，β∈(0，)，cos (α－，sin(－β)＝－，则cos(α＋β)的值等于( )
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9.已知f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是下列中的_________.
① ② ③ ④
10.已知tanα和tan(－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是_______.
11.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为______.
12.(2012·南京模拟)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－，则x的值为_______.
13.(2012·益阳模拟)已知sin(π+α)=-,且α是第二象限角，则sin2α=______.
14.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.
15.定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(，2sinx) (cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_______.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.（12分）已知sinα＝，求的值.
17.（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.
18.(12分)(2012·株洲模拟)函数f(x)=cos(-)+cos(),x∈R.
(1)求f(x)的值域；
(2)求f(x)在[0,π)上的单调递减区间.
19.（12分）(2012·宜春模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，
|φ|<)的部分图象如图所示：
(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，求g(x)的单调递增区间.
20.（12分）以40 千米/时的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1千米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度.
21.(13分)(预测题)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，a,b,c为内角A,B,C的对边，若f(C)=2,a+b=4,求△ABC的最大面积.
答案解析
1.【解题指南】根据三角函数的定义和角的定义逐一分析即可.
【解析】选D.排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A错误；当sinα＝时，也可能α＝π，所以B错误；当三角形一内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C错误，D正确.
2.【解析】选C.∵角α的终边过点(sin30°,-cos30°),
∴x=sin30°,y=-cos30°,r=1,
则sinα=故选C.
【变式备选】已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点()，2α∈［0,2π)，则tan α＝( )
【解析】选B.由角2α的终边在第二象限，知tanα>0，依题设知tan2α＝－，所以2α＝，得α＝，tanα＝.
3.【解析】选D.∵
4.【解析】选C.将y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝sin(x－)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(x－)的图象.
5. 【解析】选B.∵sinB=1,∴∠B=90°.
又由p∥q可得.
∴在Rt△ABC中，cosC=,
∴C=60°,即C＝.
6.【解析】选B.由sin (π－α)＝－2sin (＋α)?sinα＝－2cosα，又
sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，则sinαcosα＝－2cos2α＝－，故选B.
7.【解析】选C.在△ABC中，由正弦定理得：
又∵B=120°,∴A=30°.
故△ABC为等腰三角形，
∴a=c=.
8.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α－和－β的度数，再根据条件作出判断，进而求得cos(α＋β).
【解析】选B.∵α，β∈(0，)，
由cos (α－)＝和sin (－β)＝，
可得α－＝±， －β＝－，
当α－＝－，－β＝－时，
α＋β＝0与α，β∈(0，)矛盾；
当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，
此时cos (α＋β)＝.
9. 【解析】因为f(x)＝sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋)，所以f(x＋φ)＝2sin (x＋＋φ)，因为y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，
因此sin (0＋＋φ)＝±1，可得＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，即φ＝kπ＋，k∈Z，因此φ的值可以是.
答案：④
10.【解题指南】利用根与系数的关系得到tanα和tan(-α)与系数a,b,c的关系，再利用正切的两角和公式得到a,b,c的关系.
【解析】
∴tan
∴∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.
答案：c=b+a
11.【解析】在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,
sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°
由正弦定理得:
∴树的高度为PBsin45°=×=(30+30)m.
答案：(30+30)m
12.【解题指南】利用三角函数的定义直接求出x.
【解析】根据题意知所以x＝10.
答案：10
13.【解析】由题意可得sinα=,cosα=-,
∴sin2α=2sinαcosα=-.
答案：-
14.【解析】由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，
又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DC·sin60°＝3－，
所以DC＝2(－1)，
又因为BD＝DC，所以BD＝－1，
过A点作AE⊥BC于E点，
则S△ADC＝DC·AE＝3－，
所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，
所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，
所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，
在直角三角形AEC中，EC＝2－3，
所以tan∠ACE＝
所以∠ACE＝75°，
所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
答案：60°
【方法技巧】巧解三角形
解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.
15.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式，再根据性质求得最小值.
【解析】由新定义可知f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos(2x＋)，所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度后为y＝-2cos2x的图象，该函数为偶函数，所以n的最小值为.
答案：
16.【解析】∵sinα＝>0，
∴α为第一或第二象限角.
当α是第一象限角时，cosα＝
当α是第二象限角时，cos α＝
原式＝
【变式备选】已知α为锐角，且tan(＋α)＝2.
(1)求tanα的值；
(2)求的值.
【解析】(1)tan(＋α)＝
所以
1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝.
(2)
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sinα＝
所以
17.【解析】∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝(舍去).
∵0
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