单元评估检测（五）
（第五章）
（120分钟 150分）
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设等差数列{an}的公差为非零常数d,且a1=1,若a1,a3,a13成等比数列，则公差d=( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）5
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)=6，则a1a15的值为( )
(A)100 (B)1 000
(C)10 000 (D)10
3.（2012·株洲模拟）已知数列{an},an=2n+1，则+…+ =( )
(A) (B)1-2n
(C)1- (D)1+2n
4．已知数列{an}中,a1=1,以后各项由公式an=an-1+(n≥2，n∈N*)给出，则a4=( )
（A） （B） （C） （D）
5.(2012?长沙模拟)若等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a7成等比数列，则=( )
(A)2 (B) (C) (D)
6.(2012?湘潭模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5,a4a5a6=5,则a7a8a9＝( )
(A)10 (B)2 (C)8 (D)
7.由得出的数列{an}的第34项为( )
（A） （B）100 （C） （D）
8．（2012·大庆模拟）若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为( )
（A） （B） （C） （D）32
二、 填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足，则数列{an}的通项公式为________
10．已知数列{an}各项均为正数，若对任意的正整数p、q，总有ap+q=ap·aq，且a8=16,则a10=________
11．已知数列{an}的通项为an=2n-1(n∈N*)，把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形数阵.记M(s,t)表示该数阵中第s行的第t个数，则该数阵中的数2 011对应于_________
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
…
12．已知{an}为等差数列，且a3=-6,a6=0.等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,则{bn}的前n项和Sn=_______.
13．（易错题）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,若n≥2时，an是Sn与Sn-1的等差中项，则S5=_______.
14．（2012·唐山模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,n∈N*,数列{(n+1)an}的前n项和Tn=________.
15．已知函数f(x)对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则
a2 013=_______.
x
1
2
3
f(x)
3
2
1
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（12分）（2012·蚌埠模拟）已知{an}是公比大于1的等比数列，a1,a3是函数f(x)=x+-10的两个零点.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log3an+n+2,且b1+b2+b3+…+bn≥80，求n的最小值.
17.（12分）在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=an+1+log2an（n=1,2,3,…），求数列{bn}的前n项和Sn.
18．(12分)(预测题)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)=-x2+3x+2的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn-an}是首项为1，公比为q(q≠0)的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
19．（13分）（探究题）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*,点(an,Sn)都在直线2x-y-2=0上.
(1)求{an}的通项公式;
(2)是否存在等差数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n+1+2对一切n∈N*都成立？若存在，求出{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.
20．（13分）已知等差数列{an}中，前n项和Sn满足:
S10+S20=1 590,S10-S20=-930.
（1）求数列{an}的通项公式以及前n项和公式.
(2)是否存在三角形同时具有以下两个性质，如果存在，请求出三角形的三边长和b值;如果不存在，请说明理由.
①三边是数列{an+b}中的连续三项，其中b∈N*;
②最小角是最大角的一半.
21.(13分)(2012?常德模拟)在数列{an}中，a1=2,a2=8,且已知函数在x=1时取得极值.
(1)求证数列{an+1-2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项an;
(3)设3nbn=(-1)nan,且|b1|+|b2|+…+|bn|<对于n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选B.由题意知，，
即(1+2d)2=1+12d,
又d≠0，∴d=2.
2.【解析】选C.∵lg(a3a8a13)=6,
∴a3a8a13==106,∴a8=100,
∴a1a15==10 000.
3.【解析】选C.an+1-an=2n+1+1-(2n+1)
=2n+1-2n=2n,
∴
=
=
4．【解题指南】∵an-an-1=(n≥2,n∈N*),∴可采用累加法.
【解析】选A.(n≥2),
,
,
以上各式两边分别相加.
∴,
∴
5．【解析】选C.由题意可得(a1+2d)2=a1(a1+6d)?a1=2d,
∴
6.【解析】选A.设{an}的公比为q,则由a4a5a6=(a1a2a3)? q9,
得5=5?q9,
∴q9=,∴a7a8a9=(a4a5a6)?q9=5?=10.
7.【解析】选C.由
∴数列{}是以1为首项，公差为3的等差数列，
∴
8．【解析】选C.∵
∴a5=-4,
∵
∴a7=-8,∴a5·a7=32,
故a5与a7的等比中项为.
【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( )
（A） （B） （C） （D）9
【解析】选A.设中间两数为x,y，则x2=3y,2y=x+9,解得（舍去），所以x+y=.
9．【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=化简得2an=-an+an-1,即又由，得a1=所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列.
所以
答案：
10．【解析】由a8=a4+4==16得a4=4.
由得a2=2,
∴a10=a2+8=a2·a8=2×16=32.
答案：32
11．【解题指南】先求2 011对应数列{an}的项数，再求前n行的项数，找出2 011所在的行数.
【解析】由2n-1=2 011得n=1 006，即2 011是数列{an}的第1 006项，由数阵的排列规律知，数阵中的前n行共有项，当n=44时，共有990项，故2 011是第45行的第16个数.
答案：M（45，16）
12.【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因为a3=-6,a6=0,所以
解得a1=-10,d=2,
所以an=-10+(n-1)·2=2n-12.
设等比数列{bn}的公比为q,
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,即q=3,
所以{bn}的前n项和为
答案：4(1-3n)
13．【解析】由题意知n≥2时，2an=Sn+Sn-1,
∴2an+1=Sn+1+Sn,∴2an+1-2an=an+1+an,
∴an+1=3an(n≥2),
又n=2时，2a2=S2+S1,∴a2=2a1=2,
∴数列{an}中，a1=1,a2=2,an=2×3n-2(n≥2),
∴S5=81.
答案：81
14．【解析】∵Sn=2an-1,∴Sn+1=2an+1-1,
∴an+1=2an+1-2an,即an+1=2an.
又∵S1=2a1-1得a1=1,
∴an=2n-1,
Tn=2×20+3×21+4×22+…+(n+1)×2n-1,
则2Tn=2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n,
∴-Tn=2+(2+22+…+2n-1)-(n+1)×2n
=
∴Tn=n×2n.
答案：n×2n
15．【解题指南】解答此类题目应先找规律，即先求a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律.
【解析】由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,
∴数列{an}是周期为2的数列，
∴a2 013=a1=3.
答案：3
16．【解析】(1)∵a1,a3是函数的两个零点，
∴a1,a3是方程x2-10x+9=0的两根，
又公比大于1，故a1=1,a3=9,则q=3.
∴等比数列{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)知bn=log3an+n+2=2n+1,
∴数列{bn}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴b1+b2+…+bn=n2+2n≥80,
解得n≥8或n≤-10（舍）,
故n的最小值是8.
17．【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q.由a1a3=4可得=4,
因为an＞0，所以a2=2，
依题意有a2+a4=2(a3+1)，得2a3=a4=a3q
因为a3＞0，所以q=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
（2），
可得
=
18．【解析】(1)∵Sn=-n2+3n+2,
∴
(2)∵bn-an=qn-1,
∴Tn-Sn=1+q+q2+…+qn-1=
19．【解析】（1）由题意得2an-Sn-2=0,
当n=1时，2a1-S1-2=0得a1=2,
当n≥2时，由2an-Sn-2=0 ①得
2an-1-Sn-1-2=0 ②
①-②得2an-2an-1-an=0即an=2an-1,
因为a1=2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an=2·2n-1=2n.
(2)假设存在等差数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n+1+2对一切n∈N*都成立，
则当n=1时，a1b1=(1-1)·22+2得b1=1,
当n≥2时，由a1b1+a2b2+…+anbn
=(n-1)·2n+1+2 ③得
a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-1-1)·2n+2 ④
③-④得即bn=n,
当n=1时也满足条件，所以bn=n,
因为{bn}是等差数列，故存在bn=n(n∈N*)满足条件.
【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法：
（1）递推式为an+1=qan（q为常数）：作商构造；
（2）递推式为an+1=an+f(n)：累加构造；
（3）递推式为an+1=pan+q（p,q为常数）：待定系数构造；
（4）递推式为an+1=pan+qn（p,q为常数）：辅助数列构造；
（5）递推式为an+2=pan+1+qan：待定系数构造；
思路：设an+2=pan+1+qan可以变形为：an+2-αan+1=β(an+1-αan)，就是an+2=(α+β)an+1-αβan，则可从解得α,β，于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型.
（6）递推式为an+1=f(n)an(n∈N*)：累乘构造；
（7）递推式为an-an-1+panan-1=0（p为常数）：倒数构造.
20．【解析】(1)由S10+S20=1 590,S10-S20=-930得S10=330,S20=1 260,
设{an}的公差为d,则得a1=6,d=6,
故
(2)假设存在三角形三边为：6n-6+b,6n+b,6n+6+b,内角为α,π-3α,2α，
则由正弦定理得：,
由余弦定理得
由于n,b∈N*,故有对应的三角形边长为24、30、36可以验证这个三角形满足条件.
21. 【解析】(1)∵f′(x)=(an+2-an+1)x2-(3an+1-4an),f′(1)=0,
∴(an+2-an+1)-(3an+1-4an)=0,
即an+2-2an+1=2(an+1-2an),又a2-2a1=4,
∴数列{an+1-2an}是以2为公比，以4为首项的等比数列.
(2)由(1)知an+1-2an=4×2n-1=2n+1,
∴数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列，
∴=+(n-1)×1=n,
∴an=n?2n.
(3)由3nbn=(-1)nan,∴bn=(-1)nn()n,
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=+2()2+3()3+…+n()n,
Sn=()2+2()3+…+(n-1)( )n+n()n+1,
得
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|
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