单元评估检测（六）
（第六章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·莆田模拟)如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
(A)< (B)<
(C)a2|b|
2.(2012·汉中模拟)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③由“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”.
以上结论正确的是( )
(A)①③ (B)①② (C)②③ (D)②④
3.(2012·潮州模拟)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
(A)最大值为0 (B)最小值为0
(C)最大值为－4 (D)最小值为－4
4.若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
(A)18 (B)6 (C)2 (D)2
5.设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋( )
(A)都不大于－2
(B)都不小于－2
(C)至少有一个不大于－2
(D)至少有一个不小于－2
6.(2012·潼关模拟)若关于x的不等式ax－b＞0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集为( )
(A)(－1,2)
(B)(－∞，－1)∪(2，＋∞)
(C)(1,2)
(D)(－∞，－2)∪(1，＋∞)
7.(2012·温州模拟)若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( )
(A)最大值64 (B)最小值
(C)最小值 (D)最小值64
8.(预测题)设z＝x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( )
(A)－2 (B)－3 (C)－4 (D)－5
9.要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
(A)2ab－1－a2b2≤0 (B)a2＋b2－1－≤0
(C)－1－a2b2≤0 (D)(a2－1)(b2－1)≥0
10.已知约束条件，若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为( )
(A)0＜a＜ (B)a≥
(C)a＞ (D)0＜a＜
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.若关于x的不等式ax2＋2x＋a＞0的解集为R，则实数a的取值范围是 .
12.如果点P在平面区域上，点M的坐标为(3,0)，那么|PM|的最小值是 .
13.(2012·宿州模拟)已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m＋2恒成立，则m的范围是 .
14.方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1 000，xn＋1＝(n∈N*)，则x2 012＝ .
15.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.
比赛项目
票价(元/场)
足球
篮球
乒乓球
100
80
60
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为 .
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a.
17.(12分)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围.
18.(12分)(2012·南京模拟)某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少p万件.
(1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？
(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？
19.(12分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)>0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集). 试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
20.(13分)(2012·马鞍山模拟)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋4x－5<0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b<0的解集.
21.(14分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋(n≥2，n∈N*)的值.
答案解析
1.【解析】选A.如果a<0，b>0，那么<0，>0，
∴<，选A.
2.【解析】选B.因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误.又因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④错误.故选B.
3.【解析】选C.∵x<0，∴－x>0，
∴x＋－2＝－[(－x)＋]－2≤－2·－2＝－4，
等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.
4.【解析】选B.∵3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当3a＝3b，即a＝b＝1时，“＝”成立，∴最小值为6.
5.【解析】选C.因为a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.
6.【解析】选B.因为关于x的不等式ax－b＞0的解集为(1，＋∞)，所以a＞0，且＝1，即a＝b，所以关于x的不等式＞0可化为＞0，其解集是
(－∞，－1)∪(2，＋∞).
7.【解析】选D.∵x>0，y>0，＋＝1，
∴xy＝xy(＋)＝2y＋8x≥2＝8，即8≤xy，解得xy≥64，故xy有最小值64，当且仅当x＝4，y＝16时，“＝”成立.
8.【解析】选B.如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，B(－6,3)，∴zmin＝－6＋3＝－3.
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤：
(1)画出可行域；
(2)确定目标函数的斜率；
(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线；
(4)平移直线，确定满足最优解的点；
(5)求满足最优解的点的坐标.
9.【解析】选D.因为a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.
10.【解题指南】画出可行域，可知目标函数截距最大时z最大，可解.
【解析】选C.画出已知约束条件的可行域为△ABC内部(包括边界)，如图，易知当a＝0时，不符合题意；当a＞0时，由目标函数z＝x＋ay得y＝－x＋，
则由题意得－3＝kAC＜－＜0，
故a＞.综上所述，a＞.
11.【解析】当a＝0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x＋a＞0的解集为R，必须满足，解得a＞1.
答案：(1，＋∞)
12.【解析】点P所在的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，点M到A(1,1)，B(2,2)的距离分别为，，又点M(3,0)到直线x－y＝0的距离为，故|PM|的最小值为.
答案：
13.【解析】∵x>0，y>0，∴xy＝x＋2y≥2，
即(xy)2≥8xy，解得xy≥8或xy≤0(舍去)，
∵xy≥m＋2恒成立，∴m≤xy－2恒成立，
即m≤(xy－2)min＝6.
答案：(－∞，6]
14.【解析】由＝x得ax2＋(2a－1)x＝0.
因为f(x)有唯一不动点，所以2a－1＝0，即a＝.
所以f(x)＝.
所以xn＋1＝＝＝xn＋.
所以x2 012＝x1＋×2 011＝1 000＋＝2 005.5.
答案：2 005.5
15.【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得.
解得：5≤n≤5，
又n∈N*，可得n＝5，∴15－2n＝5.
∴可以预订足球比赛门票5张.
答案：5
16.【证明】要证<a，只需证b2－ac<3a2，
因为a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，
只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立.
故原不等式成立.
17.【解题指南】此题需根据Δ<0，Δ>0，Δ＝0分类讨论，求出解集M，验证即可，不要忘记M＝?的情况.
【解析】(1)当Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即－10，即a>2或a<－1时，令f(x)＝x2－2ax＋a＋2，要使M?[1,4]，只需，
得20，则原方程有实数解?t2＋at＋a＋1＝0在
(0，＋∞)上有实根
得
或
得，得a≤2－2.
方法二：令t＝2x(t>0)，则原方程化为
t2＋at＋a＋1＝0，变形得
a＝－＝－＝－[(t－1)＋]
＝－[(t＋1)＋－2]≤－(2－2)＝2－2.
∴a的取值范围是(－∞，2－2].
18.【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－p)万件，年销售额为60(80－p)万元，故所求函数为y＝60(80－p)·p%.由80－p>0，且p>0得，定义域为(0,12).
(2)由y≥128，得60(80－p)·p%≥128，化简得p2－12p＋32≤0，(p－4)(p－8)≤0，解得4≤p≤8.故当税率在[4%，8%]内时，政府收取的税金不少于128万元.
(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为g(p)＝60(80－p)(4≤p≤8).
∴g(p)为减函数，∴[g(p)]max＝g(4)＝3 200(万元).
即当p＝4时厂家获得最大销售额.
19.【解析】(1)当k＝0时，A＝(－∞，4)；
当k>0且k≠2时，A＝(－∞，4)∪(k＋，＋∞)；
当k＝2时，A＝(－∞，4)∪(4，＋∞)；
当k<0时，A＝(k＋，4).
(2)由(1)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.
因为k＋≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，所以当k＝－2时，集合B的元素个数最少.此时A＝(－4,4)，故集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}.
20.【解析】(1)解不等式x2－2x－3<0，得A＝{x|－1
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