单元评估检测(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是( )
(A)第二象限的角比第一象限的角大
(B)若sinα=,则α=
(C)三角形的内角是第一象限角或第二象限角
(D)不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关
2.(2012·衡水模拟)若角α的终边过点(sin30°,-cos30°),则sinα等于
( )
3.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则( )
(A)ω=1,φ=
(B)ω=1,φ=-
(C)ω=2,φ=
(D)ω=2,φ=-
4.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
(A)y=sin(2x-) (B)y=sin(2x-)
(C)y=sin(x-) (D)y=sin(x-)
5.(2012·长沙模拟)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB=1,向量p=(a,b),q=(1,2),若p∥q,则∠C的大小为( )
(A) (B) (C) (D)
6.已知sin(π-α)=-2sin(+α),则sinα·cosα=( )
(A) (B)- (C)或- (D)-
7.(2012·岳阳模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=3,
B=120°,则a等于( )
(A) (B)2 (C) (D)
8.若α,β∈(0,),cos (α-,sin(-β)=-,则cos(α+β)的值等于( )
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9.已知f(x)=sinx+cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,则φ的值可以是下列中的_________.
① ② ③ ④
10.已知tanα和tan(-α)是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a、b、c的关系是_______.
11.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A、B两点间的距离为60 m,则树的高度为______.
12.(2012·南京模拟)已知角α的终边经过点P(x,-6),且tanα=-,则x的值为_______.
13.(2012·益阳模拟)已知sin(π+α)=-,且α是第二象限角,则sin2α=______.
14.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=CD,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=________.
15.定义一种运算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(,2sinx) (cosx,cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为_______.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知sinα=,求的值.
17.(12分)已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小,并判断△ABC的形状.
18.(12分)(2012·株洲模拟)函数f(x)=cos(-)+cos(),x∈R.
(1)求f(x)的值域;
(2)求f(x)在[0,π)上的单调递减区间.
19.(12分)(2012·宜春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,
|φ|<)的部分图象如图所示:
(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心;
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称,求g(x)的单调递增区间.
20.(12分)以40 千米/时的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺风向正东飘去,3分钟后气球上升到1千米处,从探测船上观察气球,仰角为30°,求气球的水平飘移速度.
21.(13分)(预测题)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,若f(C)=2,a+b=4,求△ABC的最大面积.
答案解析
1.【解题指南】根据三角函数的定义和角的定义逐一分析即可.
【解析】选D.排除法可解.第一象限角370°不小于第二象限角100°,故A错误;当sinα=时,也可能α=π,所以B错误;当三角形一内角为时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故C错误,D正确.
2.【解析】选C.∵角α的终边过点(sin30°,-cos30°),
∴x=sin30°,y=-cos30°,r=1,
则sinα=故选C.
【变式备选】已知角2α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(),2α∈[0,2π),则tan α=( )
【解析】选B.由角2α的终边在第二象限,知tanα>0,依题设知tan2α=-,所以2α=,得α=,tanα=.
3.【解析】选D.∵
4.【解析】选C.将y=sinx的图象向右平移个单位得到y=sin(x-)的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x-)的图象.
5. 【解析】选B.∵sinB=1,∴∠B=90°.
又由p∥q可得.
∴在Rt△ABC中,cosC=,
∴C=60°,即C=.
6.【解析】选B.由sin (π-α)=-2sin (+α)?sinα=-2cosα,又
sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,则sinαcosα=-2cos2α=-,故选B.
7.【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理得:
又∵B=120°,∴A=30°.
故△ABC为等腰三角形,
∴a=c=.
8.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α-和-β的度数,再根据条件作出判断,进而求得cos(α+β).
【解析】选B.∵α,β∈(0,),
由cos (α-)=和sin (-β)=,
可得α-=±, -β=-,
当α-=-,-β=-时,
α+β=0与α,β∈(0,)矛盾;
当α-=,-β=-时,α=β=,
此时cos (α+β)=.
9. 【解析】因为f(x)=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+),所以f(x+φ)=2sin (x++φ),因为y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,
因此sin (0++φ)=±1,可得+φ=kπ+ (k∈Z),即φ=kπ+,k∈Z,因此φ的值可以是.
答案:④
10.【解题指南】利用根与系数的关系得到tanα和tan(-α)与系数a,b,c的关系,再利用正切的两角和公式得到a,b,c的关系.
【解析】
∴tan
∴∴-b=a-c,∴c=a+b.
答案:c=b+a
11.【解析】在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,
sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°
由正弦定理得:
∴树的高度为PBsin45°=×=(30+30)m.
答案:(30+30)m
12.【解题指南】利用三角函数的定义直接求出x.
【解析】根据题意知所以x=10.
答案:10
13.【解析】由题意可得sinα=,cosα=-,
∴sin2α=2sinαcosα=-.
答案:-
14.【解析】由∠ADB=120°知∠ADC=60°,
又因为AD=2,所以S△ADC=AD·DC·sin60°=3-,
所以DC=2(-1),
又因为BD=DC,所以BD=-1,
过A点作AE⊥BC于E点,
则S△ADC=DC·AE=3-,
所以AE=,又在直角三角形AED中,DE=1,
所以BE=,在直角三角形ABE中,BE=AE,
所以△ABE是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°,
在直角三角形AEC中,EC=2-3,
所以tan∠ACE=
所以∠ACE=75°,
所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.
答案:60°
【方法技巧】巧解三角形
解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成,这种方法是最基本的,也是很重要的方法.有些三角形问题,除了常规方法外,还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想,往往可以构造设计一个恰当的三角形,借助于平面几何、解三角形等知识去解决.
15.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式,再根据性质求得最小值.
【解析】由新定义可知f(x)=cos2x-sin2x=2cos(2x+),所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度后为y=-2cos2x的图象,该函数为偶函数,所以n的最小值为.
答案:
16.【解析】∵sinα=>0,
∴α为第一或第二象限角.
当α是第一象限角时,cosα=
当α是第二象限角时,cos α=
原式=
【变式备选】已知α为锐角,且tan(+α)=2.
(1)求tanα的值;
(2)求的值.
【解析】(1)tan(+α)=
所以
1+tanα=2-2tanα,所以tanα=.
(2)
因为tanα=,所以cosα=3sinα,
又sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,
又α为锐角,所以sinα=
所以
17.【解析】∵2cos2B-8cosB+5=0,
∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.
∴4cos2B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=(舍去).
∵0
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