单元评估检测(十)
（第十章）
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·汉中模拟)现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )
(A)①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
(B)①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
(C)①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
(D)①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
2.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：
甲
乙
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应检验哪项指标( )
(A)平均值与方差 (B)频率 (C)χ2 (D)概率
3.从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )
(A)10 (B)20 (C)8 (D)16
4.(2012·东营模拟)甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是( )
(A)X甲X乙；甲比乙成绩稳定
(C)X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
(D)X甲a2 (B)a2>a1
(C)a1＝a2 (D)a1、a2的大小不确定
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2012·西安模拟)对某学校n名学生的体重进行统计，得到频率分布直方图如图所示，若体重在75 kg以上的学生人数为64人，则n＝ .
12.(2012·绵阳模拟)为庆祝祖国母亲华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛.某中学师生踊跃报名参加，据统计，报名的学生与教师的人数之比为5∶1.学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人参加比赛.已知教师甲被抽到的概率为，则报名的学生人数是 .
13.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x(千箱)与单位成本y(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481，b＝≈－1.818 2，a＝71－(－1.818 2)×≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降 元.
14.(2012·宝鸡模拟)某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班有40人，乙班有50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
15.(易错题)在某次比赛中，9位评委给某位参赛选手打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为90分，复核员在复核时发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是 .
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2012·岳阳模拟)从某小学随机抽取的100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).现用分层抽样的方法从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少？
17.(12分)(预测题)某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩.
(1)求抽取的男生和女生的人数.
(2)男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率.
(3)从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2：
分别估计男生和女生的平均分，并估计这450名学生的平均分.(精确到0.01)
18.(12分)为了调查患胃病是否与生活规律有关，调查某地540名40岁以上的人得结果如下：
根据以上数据回答40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
19.(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
20.(13分)某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.
21.(14分)为了了解初三女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：
(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图.
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
答案解析
1.【解析】选A.①个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，系统抽样，③个体有明显的差异，所以选用分层抽样，故选A.
【方法技巧】抽样方法的应用技巧：
(1)从适用条件看：总体样本容量较小时，一般用简单随机抽样，反之常用系统抽样，个体差异较大时，应用分层抽样.
(2)从实施步骤看：简单随机抽样是逐一抽取，分层抽样是按比例抽取，系统抽样是等距抽取.
2.【解析】选A.应该评价抗拉强度的大小和波动情况，故应从平均值和方差入手.
3.【解题指南】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率.视力在0.9以上的矩形的面积求和乘以样本容量即可.
【解析】选B.根据题意，视力在0.9以上的人数为50×(1×0.2＋0.75×0.2＋0.25×0.2)＝20，故选B.
4.【解析】选A.由茎叶图可知甲的成绩为72,77,78,86,92，平均成绩为81；乙的成绩为78,82,88,91,95，平均成绩为86.8，所以平均成绩乙优于甲，从图中也可看出乙的成绩比甲稳定.
5.【解析】选C.设第3个小矩形的面积为S，则由频率分布直方图的性质可知其余m－1个小矩形的面积为1－S，
∴S＝(1－S)×可得S＝，∴第3组的频率是，样本容量为100，∴第3组的频数为100×＝20.
6.【解析】选D.系统抽样是等距抽样，样本容量是5时，系统抽样的间隔为＝10，所以D符合题意.
7.【解题指南】求出统计量χ2的值与临界值比较.
【解析】选B.
∵χ2＝≈18.822，查表知P(χ2≥6.635)≈0.01，
∴x与y之间有关系的可能性为1－0.01＝0.99.
8.【解析】选D.∵a＝－b，∴回归直线y＝bx＋a一定过点(，).
9.【解析】选A.在图形中并没有明确给出数据分布在区间[55,65)上的频率，但是有[50,60)，[60,70)段上的频率分布，据此估计样本在[55,65)段上的频率应该在[50,60)，[60,70)的频率分布之间，∵在[50,60)之间的频率为0.02，在[60,70)之间的频率为0.03，由选项可知，选A.
10.【解析】选B.∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，故只需看个位数的和，去掉一个最高分和一个最低分后，乙的个位数字总和为25，甲的个位数字总和为20<25，∴a2>a1，故选B.
11.【解析】∵75 kg以上的学生的频率是0.032×5＝0.160，
由题意得＝0.160，∴n＝400.
答案：400
12.【解析】∵60人中教师甲被抽到的概率是，
∴报名的师生总人数为600.
又学生与教师的人数之比为5∶1，
∴学生有500人.
答案：500
13.【解析】由分析可得，y＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本约下降1.818 2元.
答案：1.818 2
14.【解析】甲班的总分是40×90=3 600(分)，
乙班的总分是50×81=4 050(分),
则甲、乙两班的平均分是=85(分).
答案：85
15.【解析】由题意知统计员在去掉一个最高分96和一个最低分82后，余下的7个数字的平均数是90，
∴＝90.
即628＋x＝90×7＝630，∴x＝2.
答案：2
【误区警示】本题逆用平均数公式，计算时易出现错误.
16.【解析】由(0.005＋0.010＋0.020＋0.035＋a)×10＝1得a＝0.030，因此，[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生人数分别为：0.3×100＝30,0.20×100＝20,0.10×100＝10，所以，从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为×18＝3.
17.【解析】(1)由抽样方法知：
抽取的男生人数为250×＝25，
抽取的女生人数为200×＝20.
(2)男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1.
所以男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率为1－(1－0.1)2＝0.19.
(3)由(1)知：
m＝25－(3＋8＋6)＝8，n＝20－(2＋5＋5)＝8，
据此估计男生平均分为＝81.8.
女生平均分为＝83.
这450名学生的平均分为≈82.33.
18.【解析】χ2＝≈9.638.
∵9.638＞6.635，
∴有99%以上的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关.
19.【解析】(1)如图所示：
(2)iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
b＝＝＝0.7，
a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程预测现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤).
【变式备选】假设一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据的散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
(1)作出这些数据的散点图；
(2)求出这些数据的回归方程；
(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？
(4)用下一年的身高减去当年的身高，计算他每年身高的增长数，并计算他从3～16岁身高的年均增长数.
(5)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系.
【解析】(1)数据的散点图如下：
(2)用y表示身高，x表示年龄，将表格中数据代入，经计算得
b==6.317,
a＝－b＝71.984，
所以数据的回归方程为y＝6.317x＋71.984；
(3)在这个例子中，回归系数6.317表示该人在一年中增加的高度；
(4)每年身高的增长数略.3～16岁身高的年均增长数约为6.323cm；
(5)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等.
20.【解析】(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，
所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016.
【变式备选】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为＝85，＝85，甲的方差为＝35.5，乙的方差为＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由.
【解析】(1)作出如图所示的茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.
(2)派甲参赛比较合适，理由如下：
∵＝85，＝85，＝35.5，＝41，
∴＝， <，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.
21.【解题指南】(1)结合相应结论易求得m，n，M，N；(2)画频率分布直方图时注意用尺规画图，体现画图的规范性.(3)由频率分布直方图，观察其在哪个范围内纵坐标最高即可判断出.
【解析】
(1)M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，
N＝1，n＝＝0.04.
(2)由表格可知组距为4，故
145.5～149.5，＝＝0.005
149.5～153.5，＝＝0.02
153.5～157.5，＝＝0.1，
157.5～161.5，＝＝0.075，
161.5～165.5，＝＝0.04，
165.5～169.5，＝＝0.01.
故频率分布直方图为：
(3)在153.5～157.5范围内最多.
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